第02讲 平面向量的数量积及其应用（练习）（解析版）

第02讲平面向量的数量积及其应用（模拟精练+真题演练）1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知向量a（2，1），b（1，3），则向量a在b方向上的投影向量为（）A．110bB．110bC．110bD．110b【答案】C【解析】因为向量a（2，1），b（1，3），所以向量a在b方向上的投影向量为2311910abbbbbb，故选：C2．（2023·北京·统考模拟预测）若向量(1,1)a，(0,1)b，则a与b的夹角等于（）A．3π4B．π4C．5π4D．3π4【答案】D【解析】cos,||||ababab12221，又因为,[0,π]ab，所以3π,4ab，即a与b的夹角等于3π4.故选：D3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量a，b满足7ab，且3a，4b，则abrr（）A．5B．3C．2D．1【答案】D【解析】22224924991624ababababrrrrrrrr，所以2222916241,1ababababrrrrrrrr，故选：D4．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足1233CMCBCA，则MAMB（）A．89B．139C．89D．139【答案】C【解析】1211133333MACACMCACBCACACBBA，1222233333MBCBCMCBCBCACBCAAB，2212228233999MAMBBAABAB.故选：C.5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知C的半径为2，2AB，则ABAC（）A．1B．-2C．2D．23【答案】C【解析】由题知，ABC为正三角形，所以π3CAB，所以π·22cos23ABAC.故选：C6．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）在ABC当中60BAC，且24ABAC，已知D为BC边的中点，则AD（）.A．2B．5C．6D．7【答案】D【解析】因为D为BC边的中点，所以1122ADABAC，即22221111122442ADABACABACABAC，而2216ABAB，224ACAC，cos604ABACABAC，故24127AD，所以7AD.故选：D7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量2,1,1,4abm，且满足ab，则向量ab在向量a上的投影向量为（）A．255,55B．525,55C．2,1D．1,2【答案】C【解析】因为ab，所以2(1)40abm，得3m，所以(2,4)b，(0,5)ab，所以向量ab在向量a上的投影向量为()||||abaaaa5(2,1)(2,1)55.故选：C8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）如图直线l以及三个不同的点A，A，O，其中Ol，设OAa，OAb，直线l的一个方向向量的单位向量是e，下列关于向量运算的方程甲：aaeebbeeaebe，乙：2()abaee，其中是否可以作为A，A关于直线l对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（）A．甲乙都可以B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以D．甲乙都不可以【答案】A【解析】对于方程甲：因为()aeerrr、()beerrr为a、b在e方向上的投影，可得()()aaeebbeerrrrrrrr表示点A，A到直线l的距离相等，则点A，A分别在关于直线l对称的平行线12,ll上，因为aeberrrr，可得0aberrr，则aberrr，且abOAOAAArruuruuuruuur，可得AAl，所以A，A关于直线l对称，反之也成立，故甲满足；对于乙：在OAA△中，因为2()abaee，则l为边AA的中线所在的直线，且点A在直线l上的投影为AA的中点，所以A，A关于直线l对称，反之也成立，故乙满足；故选：A.9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知非零向量a，b，c满足1a，1abab，1ab，2cb.则向量a与c的夹角（）A．45°B．60°C．135°D．150°【答案】C【解析】∵1abab，221ab，∴2b.∵1ab，∴12cos,22ababab，0,π，则π,4ab，设向量a与c的夹角为，2,cbc与b反向,则π3ππ44.故选：C.10．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在ABC中，点D，E满足2BDDC，2AEEC，且ADBEG．若2=2AGBGAGBG，则cosC的可能值为（）A．115B．12C．59D．45【答案】D【解析】依题意，作图如下，由2=2AGBGAGBG，可得22224444AGBGAGBGAGBGAGBG，所以0AGBG，即AGBG，也即ADBE，又因为11,33ADCDCACBCABECECBCACB,所以22111110033339ADBECBCACACBCACBCACB，所以2210cos3CACBCCACB，所以333cos210105CACBCACBCCBCACBCA，当且仅当CACB时取得等号，所以3cos5C，所以结合选项cosC的可能值为45，故选：D.11．（多选题）（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量(1,1)a，(3,4)b，则下列说法正确的是（）A．2cos,10abB．b在a方向上的投影向量为22aC．与b垂直的单位向量的坐标为43,55D．若向量ab与非零向量ab共线，则0【答案】AD【解析】由题意知||2a，||5b，341ab，则2cos,10||||ababab，因此A正确；b在a方向上的投影向量为21||cos,||||||||2abaabbabaaaaaaa，因此B错误；与b垂直的单位向量的坐标为43,55或43,55，因此C错误；因为13,14ab，13,14ab，若向量ab与向量ab共线，则13141314，解得0，因此D正确.故选：AD.12．（多选题）（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知(1,3),(2,2),(,1)abc，下列结论正确的是（）A．与向量a垂直且模长是2的向量是(23,2)和(23,2)B．与向量b反向共线的单位向量是22,22C．向量a在向量b上的投影向量是3131,22D．向量c与向量b所成的角是锐角，则的取值范围是1【答案】BC【解析】对于A，向量的模223242-2不符合，故A不正确.对于B，向量b的相反向量为(2,2)，与相反向量同向的单位向量是22,22，故B正确.对于C，向量a在向量b上的投影为22331cos,222abaabb，与向量b同向的单位向量22,22e，所以向量a在向量b上的投影向量是3131cos,,22aabe，故C正确.对于D，1时，向量c与b同向共线，夹角为0，不是锐角，故D不正确.故选：BC.13．（多选题）（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2ABa，2ACab，则下列结论正确的是（）A．1bB．4abBCC．1abD．ab【答案】BC【解析】因为2ABa，所以22ABa，所以1a，又因为2ACab，所以ACABb,所以bACABBC，所以2bBC，A错误；因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以,ABBC的夹角为2π3，即,ab的夹角为2π3，所以222π4444cos03abBCabbabbabb，所以4abBC，B正确；2πcos103abab，C正确，D错误；故选:BC.14．（多选题）（2023·广东汕头·统考二模）在ABC中，已知2AB，5AC，60BAC，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（）A．392AMB．212BNC．MPN的余弦值为2121D．0PAPBPCuuruuruuurr【答案】ABD【解析】连接PC，并延长交AB于Q，ABC中，2AB，5AC，60BAC，则12AMABACuuuruuuruuur，12BNACAB,1136PMAMABAC，2133PAAMABAC111363PNBNACAB，212333PBBNACAB221333PCQCACAB，选项A:22211222AMAMABACABACABAC22113925225222.判断正确；选项B:2221124BNBNACABABACABAC2211212525422.判断正确；选项C:coscos,PNPMMPNPNPMPNPM221111116633618361133ACABACABACABACABPNPMBNAM22111152251361836231211393232.判断错误；选项D:11221033333PAPBPCABACACABACAB.判断正确.故选：ABD15．（多选题）（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记BCe，则（）A．2ADAFDEB．22ABEAFAABC．BCCDFEBCCDFED．AE在CB方向上的投影向量为32e【答案】BC【解析】22ADAFABAFED，故A错误；因为2,22||ABEAABEAFAABFAABEBAB，故B正确；11,22BCCDFEBCBCCDFEFE，又BCFE，所以BCCDFEBCCDFE，故C正确；AE在CB方向上的投影向量为3322AECBCBAECBCBCBeCBCB，故D错误.故选：BC.16．（2023·陕西西安·统考模拟预测）若向量2,ax，2,1b不共线，且abab，则ab________.【答案】3【解析】因为向量2,ax，2,1b，所以0,1,4,1abxabx，因为abab，所以0110xx，所以1x或=1x，又向量2,ax，2,1b不共线，所以2120x，所以1x，所以1x，即2,1ar，所以22113ab，故答案为：3.17．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量16,2a，1,3b，若abb，则向量ab在b上的投影向量的模长为___________.