第03讲 复数（七大题型）（讲义）（原卷版）

第03讲复数目录考点要求考题统计考情分析（1）通过方程的解，认识复数．（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．2022年I卷II卷第2题，5分2021年II卷第1题，5分2021年I卷第2题，5分高考对集合的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．知识点一、复数的概念（1）i叫虚数单位，满足21i，当kZ时，44142431,,1,kkkkiiiiii．（2）形如(,)abiabR的数叫复数，记作abiC．①复数(,)zabiabR与复平面上的点(,)Zab一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部；0,bzRZ点组成实轴；0,bz叫虚数；0b且0a，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．②两个复数,(,,,)abicdiabcdR相等acbd（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)abiabR的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算公式为22||||zabiab，显然，2222||||,zabiabzzab．知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）()()()()iabicdiacbd（2）()()()()abicdiacbdadbci22222()()zz||||)2abiabiabzzzzza(注意其中22||zab，叫z的模；zabi是zabi的共轭复数(,)abR．（3）2222()()()()(0)()()abiabicdiacbdbcadicdcdicdicdicd．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．注意：复数加、减法的几何意义以复数12,zz分别对应的向量12,OZOZ为邻边作平行四边形12OZZZ，对角线OZ表示的向量OZ就是复数12zz所对应的向量．12zz对应的向量是21ZZ．2、复数的几何意义（1）复数(,)zabiabR对应平面内的点(,)zab；（2）复数(,)zabiabR对应平面向量OZ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数(,)zabiabR的模||z表示复平面内的点(,)zab到原点的距离．3、复数的三角形式（1）复数的三角表示式一般地，任何一个复数zabi都可以表示成(cossin)ri形式，其中r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数zabi的辐角．(cossin)ri叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式．（2）辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍．规定在02范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作argz，即0arg2z．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．（3）三角形式下的两个复数相等两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．（4）复数三角形式的乘法运算①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即111222121212(cossin)(cossin)cos()sin()ririrri．②复数乘法运算的三角表示的几何意义复数12,zz对应的向量为12,OZOZ，把向量1OZ绕点O按逆时针方向旋转角2（如果20，就要把1OZ绕点O按顺时针方向旋转角2），再把它的模变为原来的2r倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积12zz．（5）复数三角形式的除法运算两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即111112122222(cossin)cos()sin()(cossin)riririr．题型一：复数的概念例1．（2023·河南安阳·统考三模）已知12iia的实部与虚部互为相反数，则实数a（）A．13B．13C．12D．12例2．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知复数z满足3i2iz，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A．32B．3i2C．12D．32例3．（2023·海南海口·校联考一模）若复数242izaa为纯虚数，则实数a的值为（）A．2B．2或2C．2D．4例4．（多选题）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数35i1iz，则（）A．17zB．z的实部与虚部之差为3C．4izD．z在复平面内对应的点位于第四象限例5．（2023·辽宁·校联考一模）若z是纯虚数，1z，则21z的实部为______.【解题方法总结】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．题型二：复数的运算例6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数1i1iz，则zz（）A．1iB．1C．1iD．i例7．（2023·河北衡水·模拟预测）若i12i2iz，则z（）A．11i22B．11i22C．11i22D．31i22例8．（2023·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足(2i)i3iz，则z（）A．1iB．3iC．15iD．13i例9．（2023·全国·模拟预测）已知复数z满足3i14izz，则||z（）A．2B．4225C．25D．25【解题方法总结】设12,(,,,)zabizcdiabcdR，则（1）12()zzacbdi（2）12()zzacbdadbci（3）1222222(0)zacbdbcadizzcdcd题型三：复数的几何意义例10．（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数20233i1i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限例11．（2023·全国·高三专题练习）已知复数1z与3iz在复平面内对应的点关于实轴对称，则12iz（）A．1iB．1iC．1iD．1i例12．（2023·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是35i，则顶点B对应的复数是（）A．28iB．28iC．17iD．27i例13．（2023·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复数，12,zz对应的点分别为1(0,2)Z，2(1,1)Z，则12zz（）A．2B．3C．2D．1【解题方法总结】复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．题型四：复数的相等与共轭复数例14．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知2i（i是虚数单位）是关于x的方程20(,)xbxcbcR的一个根，则bc（）A．9B．1C．7D．2i5例15．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知12iza，22izb，,abR，若1122i413izzzz，则（）A．2a，3bB．2a，3bC．2a，3bD．2a，3b例16．（2023·四川宜宾·统考三模）已知复数34iz，且94izaz，其中a是实数，则（）A．2aB．2aC．1aD．3a例17．（2023·湖北·模拟预测）已知复数z满足24izz，则z的共轭复数的虚部为（）A．2B．4C．4D．2例18．（2023·四川宜宾·统考三模）已知复数34iz，且i9zazb，其中a，b是实数，则（）A．2a，3bB．2a，4bC．1a，2bD．2a，4b【解题方法总结】复数相等：()abicdiacbdabcdR且，，，共轭复数：()abicdiacbdabcdR且，，，．题型五：复数的模例19．（2023·河南·统考二模）若i112z，则|1|z_______．例20．（2023·上海浦东新·统考三模）已知复数z满足22zz，则3z__________．例21．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）设复数1z，2z满足12||=||=2zz，123izz，则12||zz=__________.【解题方法总结】22||zab题型六：复数的三角形式例22．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式iecosisinxxx（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（）A．iπe10B．202213i122C．iiee2xxD．ii2ee2xx例23．（2023·全国·高三专题练习）任何一个复数i(,)zababR都可以表示成(cosisin)(0,)zrrR的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[(cosisin)](cosisin)()nnrrnnnZ，我们称这个结论为棣莫弗定理．则2022(13i)（）A．1B．20222C．20222D．i例24．（2023·河南·统考模拟预测）欧拉公式icosisine把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足iei1z，则z的虚部为（）A．12B．12C．1D．1例25．（2023·全国·高三专题练习）棣莫弗公式(cosisin)cosisinnxxnxnx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数2023cosisin66在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解题方法总结】一般地，任何一个复数zabi都可以表示成(cossin)ri形式，其中r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数zabi的辐角．(cossin)ri叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式．题型七：与复数有关的最值问题例26．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若1i1z，则z的最大值与最小值的和为___________.例27．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在复平面内，已知复数z满足||1z，i为虚数单位，则|34i|z的最大值为____________.例28．（2023·全国·模拟预测）设z是复数且12i1z，则z的最小值为（）A．1B．31C．51D．5例29．（2023·重庆·统考二模）复平面内复数z满足222zz，则iz的最小值为（）A．32B．52C．3D．5例30．（2023·全国·校联考三模）已知复数0,zz满足002,2zzz，则||z的最大值为（）A．2B．22C．4D．32【解题方法总结】利用几何意义进行转化1．（2022·全国·统考高考真题）(22i)(12i)（）A．24iB．24iC．62iD．62i2．（2022·全国·统考高考真题）设(12