重难点突破01 奔驰定理与四心问题（五大题型）（原卷版）

重难点突破01奔驰定理与四心问题目录技巧一．四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知ABC△的顶点11()Axy，，22()Bxy，，33()Cxy，，则△ABC的重心坐标为123123()33xxxyyyG，．注意：（1）在ABC△中，若O为重心，则0OAOBOC．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：1133AGABAC．奔驰定理：0BACSOASOBSOC，则AOB△、AOC△、BOC△的面积之比等于321::奔驰定理证明：如图，令112131OAOAOBOBOCOC，，，即满足1110OAOBOC11121AOBAOBSS△△，11131AOCAOCSS△△，11231BOCBOCSS△△，故321::::AOBAOCBOCSSS△△△．技巧三．三角形四心与推论：（1）O是ABC△的重心：::1:1:10BOCCOAA0BSSSOAOBOC△△△．（2）O是ABC△的内心：::::0B0CCOAAOBSSSabcaOAbOBcOC△△△．（3）O是ABC△的外心：0::sin2:sin2:sin2sin2sin2sin20BCCOAAOBSSSABCAOABOBCOC△△△．（4）O是ABC△的垂心：0::tan:tan:tantantantan0BCCOAAOBSSSABCAOABOBCOC△△△．技巧四．常见结论（1）内心：三角形的内心在向量ABACABAC所在的直线上．0ABPCBCPCCAPBP为ABC△的内心．（2）外心：PAPBPCP为ABC△的外心．（3）垂心：PAPBPBPCPCPAP为ABC△的垂心．（4）重心：0PAPBPCP为ABC△的重心．题型一：奔驰定理例1．（2023·全国·高一专题练习）已知O是ABC内部的一点，A，B，C所对的边分别为3a，2b，4c，若sinsinsin0AOABOBCOC，则AOB与ABC的面积之比为（）A．49B．13C．29D．59例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知O是三角形ABC内部一点，且20OAOBOC，则AOB的面积与ABC的面积之比为（）A．12B．13C．14D．15例3．（2023·全国·高一专题练习）若点M是ABC所在平面内的一点，点D是边AC靠近A的三等分点，且满足5AMABAC，则ABM与ABD△的面积比为（）A．15B．25C．35D．925变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将OAB，OBC△，OCA的面积分别记作cS，aS，bS，则有关系式0abcSOASOBSOCuuruuuruuurr．因图形和奔驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足0aOAbOBcOC，则O为ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为AS、BS、CS，则有0ABCSOASOBSOC，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（）A．若0OAOBOC，则O为△ABC的重心B．若230OAOBOC，则::1:2:3ABCSSSC．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则tantantan0BACOAABCOBACBOCD．若2OAOB，5π6AOB，2340OAOBOC，则92ABCS变式3．（多选题）（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为,,ABCSSS，则0ABCSOASOBSOC，O是ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确．．的有（）A．若2340OAOBOC，则4:::3:2ABCSSSB．若2OAOB，23AOB，且2340OAOBOC，则934ABCS△C．若OAOBOBOCOCOA，则O为ABC的垂心D．若O为ABC的内心，且512130OAOBOC，则π2ACB变式4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为AS、BS、CS，则0ABCSOASOBSOC.设O是锐角ABC内的一点，BAC、ABC、ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确的有（）A．若230OAOBOC，则::1:2:3ABCSSSB．2OAOB，5π6AOB，2340OAOBOC，则92ABCSC．若O为ABC的内心，3450OAOBOC，则π2CD．若O为ABC的重心，则0OAOBOC题型二：重心定理例4．（2023·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且5AB，4AC，则下列各式正确的有______．①3AGBC②6AOBC③OHOAOBOC④42ACOABMHM例5．（2023·全国·高一专题练习）点O是平面上一定点，A、B、C是平面上ABC的三个顶点，B、C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．①动点P满足OPOAPBPC，则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足()(0)||||ABACOPOAABAC，则ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足()(0)||sin||sinABACOPOAABBACC，则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足()(0)||cos||cosABACOPOAABBACC，则ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；⑤动点P满足()(0)2||cos||cosOBOCABACOPABBACC，则ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．例6．（2023·河南·高一河南省实验中学校考期中）若O为ABC的重心（重心为三条中线交点），且0OAOBOC，则___．变式5．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，3AC，则AOBC______．（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，3AC，则AOBC______．（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，3AC，3A，D为BC中点，则AOOD____．变式6．（2023·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在ABC中，2AB，60ABC，1ACAB，若O是ABC的重心，则BOAC______.变式7．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，点G为ABC的重心，若AGBG，则cosC的取值范围为______．变式8．（2023·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，34PCAC，QCnBC，则n的值为________.变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在ABC中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设APQ△的面积为1S，ABC的面积为2S，且,APABAQAC，则12SS的取值范围为_________．题型三：内心定理例7．（2023·湖北·模拟预测）在ABC中，16ABAC，6ABCS，3BC，且ABAC，若O为ABC的内心，则AOBC_________．例8．（2023·全国·高三专题练习）已知RtABC中，3AB，4AC，5BC，I是ABC的内心，P是IBC内部（不含边界）的动点.若APABAC（，R），则的取值范围是______.例9．（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设I为ABC的内心，5ABAC，6BC，AImABnBC，则mn为________．变式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点O是ABC的内心，若3177AOABAC，则cosBAC______.变式11．（2023·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有ABC及内一点O满足关系式：0OBCOACOABSOASOBSOC△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC的三边为a，b，c，现有0aOAbOBcOC，则O为ABC的__心.变式12．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足ABACOPOAABACR，则点P的轨迹一定经过ABC的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心变式13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆2211612xy的左右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上异于长轴端点的动点，G，I分别为12PFF△的重心和内心，则PIPG（）A．43B．3C．2D．163变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC，I是其内心，内角,,ABC所对的边分别,,abc，则（）A．1()3AIABACB．cABbACAIaaC．bABcACAIabcabcD．cABbACAIabac变式15．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，3cos4A，O为△ABC的内心，若,RAOxAByACxy，则x＋y的最大值为（）A．23B．665C．776D．8227变式16．（2023·全国·高三专题练习）点O在ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）0OAOBOC；（2）OAOBOBOCOCOA；（3）0ACBCBAOAOABBACBCBAAB骣骣鼢珑鼢珑鼢??=珑鼢珑鼢珑鼢珑-梃uuuvuuuvuuvuuvuuuuuuvuuuvuuuvvuuuvuuv；（4）()()0OAOBABOBOCBC．则点O依次为ABC的（）A．内心、外心、重心、垂心；B．重心、外心、内心、垂心；C．重心、垂心、内心、外心；D．外心、内心、垂心、重心变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，O为ABC内一点，若分别满足下列四个条件：①0aOAbOBcOC；②tantan