重难点突破02 向量中的隐圆问题（四大题型）（解析版）

重难点突破02向量中的隐圆问题目录技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：PBPA定理：平面内，若BA,为定点，且PBPA,则P的轨迹是以M为圆心241AB为半径的圆证明：由PBPA，根据极化恒等式可知，2241ABPM，所以241ABPM，P的轨迹是以M为圆心241AB为半径的圆．技巧二．极化恒等式和型：22PBPA定理：若BA，为定点，P满足22PBPA,则P的轨迹是以AB中点M为圆心，2212AB为半径的圆。)021(2AB证明：])21([22222ABPMPBPA，所以2212ABPM，即P的轨迹是以AB中点M为圆心，2212AB为半径的圆．技巧三．定幂方和型若BA，为定点，222222nPBmPAnmPBPAnPBmPA，则P的轨迹为圆．证明：nycxycxmnPBmPA][][2222220)1()1(2))(1(222ncmxmcyxm01)1(1)1(2222mnmcxmcmyx．技巧四．与向量模相关构成隐圆坐标法妙解题型一：数量积隐圆例1．（2023·上海松江·校考模拟预测）在ABC中，3,4,90ACBCC.P为ABC所在平面内的动点，且=2PC，若CPCACB，则给出下面四个结论：①的最小值为45；②PAPB的最小值为6；③的最大值为34；④PAPB的最大值为8.其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】如图，以C为原点，,CACB所在的直线分别为,xy轴，建立平面直角坐标系，则(0,0),(3,0),(0,4)CAB，因为=2PC，所以设(2cos,2sin)P，则(2cos,2sin)CP，(3,0),(0,4)CACB，所以(3,4)CPCACB，所以2cos=32sin=4，即2cos=31sin=2（为任意角），所以21cossin32543cossin6555sin6（其中43sin,cos55），所以的最大值为56，最小值为56，所以①③错误，因为(32cos,2sin),(2cos,42sin)PAPB，所以2cos(32cos)2sin(42sin)PAPB4(8sin6cos)410sin()（其中34sin,cos55）因为1010sin()10，所以6410sin()14，所以[6,14]PAPB，所以PAPB的最小值为6，最大值为14，所以②正确，④错误，故选：A例2．（2023·全国·高三专题练习）若正ABC的边长为4，P为ABC所在平面内的动点，且1PA，则PBPC的取值范围是（）A．3,15B．[923,923]C．[933,933]D．[943,943]【答案】D【解析】由题知，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则4,0B，2,23C，由题意设cos,sin02πP，则4cos,sinPB，2cos,23sinPC，4cos2cossin23sinPBPC3196cos23sin9223cossin22π943sin3，02π，ππ7π333，可得π943sin943,9433.故选：D例3．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在ABC中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为ABC所在平面内的动点，且PC＝2，则PAPB的取值范围是（）A．22,26B．26,22C．30,22D．22,30【答案】D【解析】在RtABC△中，以直角顶点C为原点，射线,CBCA分别为,xy轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，令角(R)的始边为射线CB，终边经过点P，由2PC，得(2cos,2sin)P，而(12,0),(0,5)BA，于是(2cos,2sin5),(2cos12,2sin)APBP，因此2cos(2cos12)2sin(2sin5)42(5sin12cos)APBP426sin()，其中锐角由12tan5确定，显然1sin()1，则22426sin()30，所以PAPB的取值范围是22,30.故选：D变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC是边长为43的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若1OP，则PAPB的最小值是A．11B．6C．3D．15【答案】A【解析】作出图像如下图所示，取AB的中点为D，则3143223OD，因为1OP，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，则22222+21244PAPBPAPBPDABPAPBPD.又PD为圆O上的点P到D的距离，则min211PD，∴PAPB的最小值为11.故选：A.变式2．（2023·北京·高三专题练习）ABC为等边三角形，且边长为2，则AB与BC的夹角大小为120，若1BD，CEEA，则ADBE的最小值为___________.【答案】33【解析】因为ABC是边长为2的等边三角形，且CEEA，则E为AC的中点，故BEAC，以点B为坐标原点，BE、EA分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则3,1A、3,0E、0,0B，设点cos,sinD，3,0BE，cos3,sin1AD，所以，3cos333ADBE，当且仅当cos1时，等号成立，因此，ADBE的最小值为33.故答案为：33.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆22:16Qxy，点1,2P，M、N为圆O上两个不同的点，且0PMPN若PQPMPN，则PQ的最小值为______.【答案】335/533【解析】解法1：如图，因为0PMPN，所以PMPN，故四边形PMQN为矩形，设MN的中点为S，连接OS，则OSMN，所以222216OSOMMSMS，又PMN为直角三角形，所以MSPS，故2216OSPS①，设,Sxy，则由①可得22221612xyxy，整理得：22127124xy，从而点S的轨迹为以1,12T为圆心，332为半径的圆，显然点P在该圆内部，所以min33335222PSPT，因为2PQPS，所以min335PQ；解法2：如图，因为0PMPN,所以PMPN，故四边形PMQN为矩形，由矩形性质，2222OMONOPOQ，所以216165OQ，从而33OQ，故Q点的轨迹是以O为圆心，33为半径的圆，显然点P在该圆内，所以min33335PQOP.故答案为：335.题型二：平方和隐圆例4．（2023·全国·高三专题练习）已知,,,abcd是单位向量，满足22,2,||||20bmabmcmda，则||cd的最大值为________．【答案】255【解析】依题意，,ab可为与x轴、y轴同向的单位向量，设1,0,0,1,cos,sin,cos,sinabcxxdyy222222||||20cos1sin2cos1s21,2,inmcmdmxxyy化简得：4cos2sincos2sinxxyy运用辅助角公式得：1π45sin5sin,tan,0,22xy4sinsin2sincos225xyxyxy，即得：2cos25sin2xyxy，故2244cos255sin2xyxy；222coscossinsin22cos44cos2xycdxyxyxy42544.55故答案为：255例5．（2023·上海·高三专题练习）已知平面向量PA、PB满足22||4PAPB，2||2uuuvAB，设2uuuvuuvuuvPCPAPB，则PC________.【答案】362362,22【解析】因为222222ABAPPBPAPBPAPB且224PAPB，所以1PAPB；又因为22226PAPBPAPBPAPB，所以6PAPB；由2222ABPBPAPAPB，所以2PAPB；根据31222PCPAPBPAPBPAPB可知：31312222PAPBPAPBPCPAPBPAPB，左端取等号时：,,PAB三点共线且P在线段AB外且P靠近B点；右端取等号时，,,PAB三点共线且P在线段AB外且P靠近A点，所以36236222PC，所以362362,22PC.故答案为：362362,22.例6．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点2,0A，0,2B，圆22:1Cxay，若圆C上存在点M，使得2212MAMB，则实数a的取值范围为（）A．1,122B．122,122C．1,122D．12,12【答案】B【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.设(,)Mxy，则2222(2)(2)12xyxy，所以22(1)(1)4xy，所以点M的轨迹是一个圆D,由题得圆C和圆D相交或相切，所以221(1)13a，所以122122a.故选：B变式4．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线:0lxya与点(0)A，2，若直线l上存在点M满足2210MAMO（O为坐标原点），则实数a的取值范围是（）A．51,51B．[51,51]C．221,221D．[221,221]【答案】D【解析】设,Mxxa，∵直线:0lxya与点02A，，直线l上存在点M满足2210MAMO，∴2222210xxaxxa，整理,得22242222100xaxaa①，∵直线l上存在点M,满足2210MAMO，∴方程①有解，∴0，解得：221221a，故选D.变式5．（2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设20A，，20B，，O为坐标原点，点P满足22||16PAPB，若直线60kxy上存在点Q使得6PQO，则实数k的取值范围为（）A．4242，B．4242，，C．5522，，D．5522，【答案】C【解析】设Pxy，，22||16PAPB，22222216xyxy„，即224xy„．点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．若直线60kxy上存在点Q使得6PQO，则PQ为圆224xy的切线时PQO最大，21sin2OPPQOOQOQ…，即4OQ„．圆心