第01讲 数列的基本知识与概念（练习）（原卷版）

第01讲数列的基本知识与概念（模拟精练+真题演练）1．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列na满足：11a，21a，21nnnaaa，若3579112kaaaaaaa，则k等于（）A．12B．13C．89D．1442．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列na满足1111112,1nnnnaaaaa，则2023a（）A．2B．12C．3D．133．（2023·全国·高三专题练习）著名的波那契列na：1，1，2，3，5，8，，满足121aa，*21nnnaaanN，那么357920211aaaaa是斐波那契数列中的（）A．第2020项B．第2021项C．第2022项D．第2023项4．（2023·宁夏银川·校联考二模）数列na满足21111nannn，*Nn，则2a等于（）A．12B．14C．111234D．11245．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若数列na中，135a，214a，且*21Nnnnaaan，记数列na的前n项积为n，则20232022a的值为（）A．1B．35C．12D．146．（2023·全国·高三专题练习）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列na时，发现其递推公式*21,Nnnnaaan就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即3124321225431223aaaaaaaaaaaaaaaa，如果该数列na的前两项分别为121,2aa，其前n项和记为nS，若2023am，则2021S（）A．2mB．212mC．2mD．2m7．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知数列na，若12146naan，则7a（）A．9B．11C．13D．158．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4nnnnanNn，则的取值范围是（）A．1,2B．51,4C．51,4D．71,59．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法中，正确的有（）A．已知13nnaa，则数列na是递增数列B．数列na的通项22nankn，若na为单调递增数列，则2kC．已知正项等比数列na，则有1845aaaaD．已知等差数列na的前n项和为24,4,10nSSS，则618S10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的通项公式为32nnnka，若数列na是递减数列，则实数k不能取的值是（）A．1B．0C．1D．211．（多选题）（2023·河北沧州·高三沧州市一中校考阶段练习）对任意的1(0,1)a，由关系式1()nnafa得到的数列满足1nnaanN，则函数()yfx的图象不可能是（）A．B．C．D．12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若数列{}na满足1112,012,1321,12nnnnnaaaaaa剟，则数列{}na中的项的值可能为（）A．13B．2C．23D．4513．（多选题）（2023·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列na满足13a，111nnaa，记数列na的前n项和为nS，则（）A．232aB．31312nnSSC．121nnnaaaD．1922S14．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，已知13a，20a，且12,N(3)nnnnaaan，则2021a___________．15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足12a，且111nnnaaa，则2021a______．16．（2023·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）设0a且1a，已知数列nb满足5(3)2,6,6nnannban，且nb是递增数列，则a的取值范围是__________．17．（2023·全国·高三专题练习）已知11312nna，若存在常数,ABR，使得对任意的正整数n都有nAaB，则BA的最小值为______.18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2log,()1,xxafxxxa，数列na满足()nafn，n为正整数，若3naa，则实数a的取值范围是_______.19．（2023·全国·高三专题练习）知数列na的通项公式为*252nnnanN，则数列na的最大项为第______项．20．（2023·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）某企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩下的资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后剩余资金为na万元.（1）用d表示1a，2a，并写出1na与na的关系式；（2）若公司希望经过5年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值.（精确到0.01）1．（2015•上海）若无穷等差数列{}na的首项10a，公差0d，{}na的前n项和为nS，则()A．nS单调递减B．nS单调递增C．nS有最大值D．nS有最小值2．（2022·全国甲卷·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b，212111b，31231111b，…，依此类推，其中(1,2,)kkN．则（）A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列na满足21111,3nnnaaaanN，则（）A．100521002aB．100510032aC．100731002aD．100710042a4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列na满足111,N1nnnaaana.记数列na的前n项和为nS，则（）A．100332SB．10034SC．100942SD．100952S5．（2021·全国甲卷·统考高考真题）等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2020·北京·统考高考真题）在等差数列na中，19a，51a．记12(1,2,)nnTaaan……，则数列nT（）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项7．（2004·江苏·高考真题）设数列na的前n项和为nS，1312nnaS（对于所有1n），且454a，则1a的数值是___________．8．（2022·北京·统考高考真题）已知数列na各项均为正数，其前n项和nS满足9(1,2,)nnaSn．给出下列四个结论：①na的第2项小于3；②na为等比数列；③na为递减数列；④na中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．9．（2004·浙江·高考真题）如图，OBC△的在个顶点坐标分别为(0,0)(1,0)(0,2)、、，设1P为线段BC的中点，2P为线段CO的中点，3P为线段1OP的中点，对于每一个正整数n，3nP为线段1nnPP的中点，令nP的坐标为,nnxy，1212nnnnayyy．(1)求123,,aaa及na；(2)证明*41,4nnyynN；(3)若记*444,nnnbyynN，证明nb是等比数列．