第01讲 数列的基本知识与概念（六大题型）（讲义）（解析版）

第01讲数列的基本知识与概念目录考点要求考题统计考情分析（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2021年北京卷第10题，4分2020年浙江卷第11题，4分高考对数列概念的考查相对较少，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是数列与函数结合考查单调性、周期性、最值性.知识点一、数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{}12n，，，）为定义域的函数()nafn当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．知识点二、数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()nnnnnnaaaaaaC递增数列：递减数列：，常数列：常数摆动数列知识点三、数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}na的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}na的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【解题方法总结】（1）若数列{}na的前n项和为nS，通项公式为na，则1112nnnSnaSSnnN，，，注意：根据nS求na时，不要忽视对1n的验证．（2）在数列{}na中，若na最大，则11nnnnaaaa，若na最小，则11.nnnnaaaa题型一：数列的周期性例1．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，已知0na，11a，211nnaa，且10096aa，则20223aa（）A．52B．152C．52D．152【答案】C【解析】由211nnaa，可得1009896111111aaa，因为10096aa，所以96961111aa，整理得2969610aa，由于0na，解得96512a，从而989615112aa，1009815112aa，可知96981002022512aaaa，因为311112aa，所以2022352aa．故选：C．例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，127,24aa，对所有的正整数n都有12nnnaaa，则2024a（）A．7B．24C．13D．25【答案】B【解析】由12nnnaaa得213nnnaaa，两式相加得3nnaa，63nnnaaa，na是以6为周期的数列，而202433762，2024224aa.故选：B.例3．（2023·江西赣州·高三校联考阶段练习）斐波那契数列na可以用如下方法定义：21nnnaaa，且121aa，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列nb，则数列nb的第100项为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】由题意有21nnnaaa，且121aa，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}nb，则11b，21b，32b，43b，51b，60b，71b，81b，92...b，则数列{}nb是以6为周期的周期数列，则100166443bbb，则数列{}nb的第100项为3，故选：D．变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知数列na中，1111,1(2)2nnaana，则2014a（）A．12B．1C．2D．1【答案】A【解析】数列na中，1111,1(2)2nnaana，可知21111aa，32112aa，4131112aaa，故数列na是以3为最小正周期的周期数列，所以201467131112aaa.故选：A变式2．（2023·全国·高三对口高考）设函数f定义如下，数列nx满足05x，且对任意自然数均有1nnxfx，则2005x的值为（）x12345fx41352A．1B．2C．4D．5【答案】B【解析】由对任意自然数均有1nnxfx，且05x，可得1052xfxf，2121xfxf，3214xfxf，4345xfxf，5452xfxf，，所以数列nx是4项为周期的周期数列，且前四项分别为2,1,4,5，所以20055014112xxx.故选：B.变式3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列na中，已知122,3aa，当2n时，1na是1nnaa的个位数，则2023a（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】因为122,3aa，当2n时，1na是1nnaa的个位数，所以36a，48a，58a，64a，72a，88a，96a，108a，118a，124a，可知数列na中，从第3项开始有6nnaa，即当3n时，na的值以6为周期呈周期性变化，又20236337...1，故202312aa.故选：C.变式4．（2023·北京通州·统考三模）数列na中，121124(2)nnnaaaaan，，，则2023a（）A．14B．12C．2D．4【答案】C【解析】因为121124(2)nnnaaaaan，，，令2n，则132aaa，求得32a，令3n，则243aaa，求得412a，令4n，则354aaa，求得514a，令5n，则465aaa，求得612a，令6n，则576aaa，求得72a，令7n，则687aaa，求得84a，，所以数列na的周期为6，则202312aa.故选：C【解题方法总结】解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．题型二：数列的单调性例4．（2023·北京密云·统考三模）设数列na的前n项和为nS，则“对任意*Nn，0na”是“数列nS为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不是充分也不是必要条件【答案】A【解析】数列na中，对任意*nN，0na，则11,2nnnnSSaSn，所以数列nS为递增数列，充分性成立；当数列nS为递增数列时，1,2nnSSn，即11nnnSaS，所以0na，2n，如数列1,2,2,2,,不满足题意，必要性不成立；所以“对任意*nN，0na”是“数列nS为递增数列”的充分不必要条件.故选：A例5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足2*110,Nnnnaaaatan，若存在实数t，使na单调递增，则a的取值范围是（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4【答案】A【解析】由na单调递增，得21nnnnaataa，由10aa，得0na，∴1nta*()Nn.1n时，得1ta①，2n时，得21tata，即111ataa②，若1a，②式不成立，不合题意；若1a，②式等价为1ta，与①式矛盾，不合题意.综上，排除B，C，D.故选：A例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足*2122N,14222nnnnaaannbann，若数列nb为单调递增数列，则的取值范围是（）A．38,B．1,2C．38,D．1,2【答案】A【解析】由*122N222nnaaann可得1122112222nnaaann，两式相减可得12nna，则2,2nnan，当1n时，112a可得12a满足上式，故*2Nnnan，所以2214nnbnn，因数列nb为单调递增数列，即*1N0nnnbb，-，则212211412142230.nnnnnnnn整理得232nn，令232nnnc，则*111212352,N222nnnnnnnnccn，当2n时，1nncc，当3n时，1nncc，于是得338c是数列nc的最大项，即当3n时，232nn取得最大值38，从而得38，所以的取值范围为3{|}8．故选：A变式5．（2023·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）数列na的通项公式为21naknn，则“13k”是“na为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【答案】B【解析】由题意得数列na为递增数列等价于对任意22*1121N2,01nnnnaaknnknknk恒成立，即121kn对任意*Nn恒成立，因为1021n，且可以无限接近于0，所以0k，所以“13k”是“na为递增数列”的必要不充分条件，故选：B变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的通项公式为23nann，则“1”是“数列na为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若数列na为递增数列，则2211313nnaannnn2221333nnnnn2130n，即321n由*Nn，所以有321131，反之，当1时，10nnaa，则数列na为递增数列，所以“1”是“数列na为递增数列”的充要条件，故选：C.变式7．（2023·江苏南通·高三期末）已知数列{}na是递增数列，且638,6,6nntnnatn，则实数t的取值范围是（）A．2,3B．2,3C．10,37D．1,3【答案】C【解析】因为638,6,6nntnnatn，{}na是递增数列，所以301(3)68tttt，解得1037t，所以实数t的取值范围为10,37，故选：C变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足12log1nnaa，若na是递增数列，则1a的取值范围是（）A．0,1B．0,2C．1,0D．1,【答案】A【解析】因为na是递增数列，所以1nnaa，即2log1nnaa．如图所示，作出函数yx和2log1yx的图象，由图可知，当0,1x时，2log1xx，且2log10,1x．故当10,1a时，1212log1aaa，且20,1a，依此类推可得123aaa，满足na是递增数列，即1a的取值范围是0,1．故选:A.变式9．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列na为递减数列，其前n项和22nSnnm，则实数m的取值范围是（）．A．2,B．,2C．2,D．,2【答案】A【解析】因为10nnaa，所以数列na为递