第03讲 等比数列及其前n项和（九大题型）（讲义）（原卷版）

第03讲等比数列及其前n项和目录考点要求考题统计考情分析（1）理解等比数列的概念．（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．（3）了解等比数列与指数函数的关系．2023年甲卷（理）第5题，5分2023年II卷第8题，5分2023年乙卷（理）第15题，5分高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．知识点一．等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为1=nnaqa．（2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒2Gab．知识点二．等比数列的有关公式（1）等比数列的通项公式设等比数列{}na的首项为1a，公比为(0)qq，则它的通项公式1111()(,0)nnnaaaqcqcaqq．推广形式：－nmmnaaq（2）等比数列的前n项和公式等比数列{}na的公比为(0)qq，其前n项和为111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq注①等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分1q与1q两种情况讨论求解．②已知1,(1),aqqn（项数），则利用1(1)1nnaqSq求解；已知1,,(1)naaqq，则利用11nnaaqSq求解．③111(1)(0,1)111nnnnaqaaSqkqkkqqqq，nS为关于nq的指数型函数，且系数与常数互为相反数．知识点三．等比数列的性质（1）等比中项的推广．若mnpq时，则mnpqaaaa，特别地，当2mnp时，2mnpaaa．（2）①设{}na为等比数列，则{}na（为非零常数），{}na，{}mna仍为等比数列．②设{}na与{b}n为等比数列，则{b}nna也为等比数列．（3）等比数列{}na的单调性（等比数列的单调性由首项1a与公比q决定）．当101aq或1001aq时，{}na为递增数列；当1001aq或101aq时，{}na为递减数列．（4）其他衍生等比数列．若已知等比数列{}na，公比为q，前n项和为nS，则：①等间距抽取2(1),,,,pptptpntaaaa为等比数列，公比为tq．②等长度截取232,,,mmmmmSSSSS为等比数列，公比为mq（当1q时，m不为偶数）．【解题方法总结】（1）若*2()，，，，mnpqkmnpqkN，则2＝＝mnpqkaaaaa．（2）若{}na，{}nb（项数相同）是等比数列，则{}(0)na，1{}na，2{}na，{}nnab，{}nnab仍是等比数列．（3）在等比数列{}na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即23＋＋＋，，，nnknknkaaaa为等比数列，公比为kq．（4）公比不为－1的等比数列{}na的前n项和为nS，则nS，2nnSS，32nnSS仍成等比数列，其公比为nq．（5）{}na为等比数列，若12＝nnaaaT，则232，，，nnnnnTTTTT成等比数列．（6）当0q，1q时，()·0－nnSkkqk是{}na成等比数列的充要条件，此时11akq．（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．（8）若{}na为正项等比数列，则{log}(c0,c1)cna为等差数列．（9）若{}na为等差数列，则{c}(c0,c1)na为等比数列．（10）若{}na既是等差数列又是等比数列{)na是非零常数列．题型一：等比数列的基本运算例1．（2023·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列na中，13a，1239aaa，则456aaa等于（）A．9B．72C．9或70D．9或72例2．（2023·全国·高三专题练习）已知递增的等比数列na中，前3项的和为7，前3项的积为8，则4a的值为（）A．2B．4C．6D．8例3．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列na的前n项和为nS，公比为q，且11nnSa，则（）A．12aB．22SC．1qD．2q=变式1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）在等比数列{}na中，若24a，532a，则公比q应为（）A．12B．2C．12D．－2变式2．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列na的各项均为正数，前n项和nS，若11a，5354SS，则4S（）A．158B．658C．15D．40变式3．（2023·全国·高三对口高考）已知数列na是等比数列，12782,128aaaa，则该数列的10S以及1a依次为（）A．682，23B．682，2C．682，23或2D．682，23或2变式4．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{na}的前n项和为nS，若45833,39aaaS，则4a=（）A．64B．81C．128D．192变式5．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列na的前4项和为30，1515aa，则7a（）A．14B．12C．1D．2【解题方法总结】等比数列基本量运算的解题策略（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量1a，n，q，na，nS，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．（2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论：当1q时，1nSna；当1q时，11(1)=11nnnqSaaqaqq．题型二：等比数列的判定与证明例4．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记110%a，120%b，经1n次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为na，nb．(1)试用1na，1nb表示na，nb．(2)证明：数列nnab是等比数列，并求出na，nb的通项．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足422nnnSa，*nN，其中nS为na的前n项和．证明：(1)126nna是等比数列．(2)12311111636363631nnaaaa．例6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第n（*Nn）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为na，在丙手中的方法数为nb.(1)求证：数列1nnaa为等比数列，并求出na的通项；(2)求证：当n为偶数时，nnab.变式6．（2023·广东东莞·校考三模）已知数列na和nb，12a，111nnba，12nnab.(1)求证数列11na是等比数列；(2)求数列nnb的前n项和nT.变式7．（2023·全国·高三专题练习）设数列na的首项1aa，且11,21,4nnnanaan为偶数为奇数，记211,1,2,3...4nnban.(1)求23,aa；(2)判断数列nb是否为等比数列，并证明你的结论；(3)求12nbbbL.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na、nb满足143nnnaabt，143nnnbbat，tR，nN，且11a，10b.(1)求证：nnab是等比数列；(2)若na是递增数列，求实数t的取值范围.变式9．（2023·全国·高三专题练习）数列{}na的前n和nS满足2nnSan*Nn，(1)求1a的值及na与1na的关系；(2)求证：1na是等比数列，并求出{}na的通项公式.变式10．（2023·云南·校联考三模）已知数列na有递推关系*1784N,343nnnnaanaa，16929a，记(Z)nnabkk，若数列nb的递推式形如1nnnrbbpbq（,,Rpqr且,0pr），也即分子中不再含有常数项.(1)求实数k的值；(2)证明：135nb为等比数列，并求其首项和公比.变式11．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列na满足*1121,,Nnnnaaana．(1)证明21nnaa是等比数列；(2)若31nnba，求nb的前n项和nS．变式12．（2023·山东潍坊·三模）已知数列na和nb满足11113,2,2,2nnnnnnabaabbab．(1)证明：nnab和nnab都是等比数列；(2)求nnab的前n项和nS．【解题方法总结】等比数列的判定方法定义法若1=nnaqa（q为非零常数，*nN或1=nnaqa（q为非零常数且2n，*nN），则{}na是等比数列中项公式法若数列{}na中，0na且2*12=()nnnaaanN，则{}na是等比数列通项公式法若数列{}na的通项公式可写成1·nnacq（cq，均为非零常数，*nN），则{}na是等比数列前n项和公式法若数列{}na的前n项和·nnSkqk-（k为非零常数，01q，），则{}na是等比数列题型三：等比数列项的性质应用例7．（2023·全国·高三对口高考）已知等比数列na的前n项和为13nnSc，则c__________.例8．（2023·山东泰安·统考二模）若m，n是函数2fxxpxq0,0pq的两个不同零点，且m，n，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq__________.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na中，10a，,mnmnaaamnN，且3a、11a是函数221920fxxx的两个零点，则7a___________.变式13．（2023·高三课时练习）已知等比数列na的公比12q，该数列前9项的乘积为1，则1a______．变式14．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列na中，3a与8a是方程230100xx的两个根，则1210lglglgaaa_________.变式15．（2023·全国·高三专题练习）等比数列na中，19256aa，4640aa，则公比q的值为_____________.变式16．（2023·全国·高三专题练习）在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于_____________.变式17．（2023·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列na是等比数列，且17138aaa，则311aa__________．变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列na是公比不等于1的等比数列，且12023lglg0aa，若221fxx，则122023fafafa__________.变式19．（2023·四川成都·统考二模）已知等比数列na的首项为1，且64312aaaa，则1237aaaa__________