第03讲 等比数列及其前n项和（练习）（解析版）

第03讲等比数列及其前n项和（模拟精练+真题演练）1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若2mn，则kl=（）A．400B．500C．600D．800【答案】C【解析】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列，设第一个音为1a，所以1201102nnaa=，故120012001111,22klmana==，因为2mn，所以1111200211120012001200122260012002222kklkllamklklna=.故选：C2．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列na的前n项和为nS，已知633SS，712a，则1a（）A．13B．12C．2D．3【答案】D【解析】因为633SS，所以1q.所以631113111aqaqqq，解得32q.712a，6112aq，解得13a.故选：D3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列na中，3416aa，564aa，则使得1na成立的n的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】由34356511614aaaqaaaq得25314aqa，所以12q，或12q（舍去），由2311116aqaqq，得1128a，所以1812nnnaaq，由821n，得80n，所以8n，即n的最小值为9；故选：C.4．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在等比数列na中，132aa，5718aa，则35aa（）A．3B．6C．9D．18【答案】B【解析】因为132aa，5718aa，所以444571313139aaaqaqqaaaa，解得23q，则235136aaaaq．故选：B5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列na满足21143,1nnnaaaa，则5S（）A．40B．81C．121D．156【答案】C【解析】设公比为q，由2143nnnaaa可得，243nnnaqaqa，因为0na，所以2430qq，因为1q，解得3q，所以1113nnnaaq，所以5515113121113aqSq.故选：C.6．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足112a，12nnaa，数列1na的前n项积为nT，则5T（）A．18B．116C．132D．164【答案】C【解析】因为数列na满足a1＝12，an+1＝2an，易知0na，所以111112nnnnaaaa为常数，又112a，所以数列1na是以2为首项，公比为12的等比数列，所以12112()22nnna，所以5123451111111112124832Taaaaa，故选：C．7．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列na中，2345674,16aaaaaa，则8910aaa（）A．4B．8C．32D．64【答案】D【解析】由2345674,16aaaaaa可得33364,16aa，又2639aaa，故633639aaa，则239164a，解得3964a，即891064aaa.故选：D8．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列na，满足3122aaa，若存在两项ma，na，使得14mnaaa，则14mn最小值为（）A．2B．32C．13D．1【答案】B【解析】因为正项等比数列na满足3122aaa，设其公比为q，则0na，0q，所以21112aqaaq，得220qq，解得2q=，因为14mnaaa，所以2116mnaaa，则1121112216mnaaa，即242162mn，故6mn，所以141146mnmnmn14143552662nmnmmnmn，当且仅当4nmmn，即24nm时，等号成立，故14mn的最小值为32.故选：B.9．（多选题）（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下1a尺，第二天截取剩下的一半后剩下2a尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下5a尺，则下列说法正确的是（）A．5214aaB．318aC．34116aaD．123453132aaaaa【答案】BCD【解析】根据题意可得na是首项为12，公比为12的等差数列，则*1()2nnanN，35218aqa，故A错误；318a，故B正确；318a，4116a，则34116aa，故C正确；512345111312213212aaaaa，故D正确．故选：BCD．10．（多选题）（2023·湖北武汉·统考三模）已知实数数列na的前n项和为nS，下列说法正确的是（）．A．若数列na为等差数列，则13862aaaa恒成立B．若数列na为等差数列，则3S，63SS，96SS，…为等差数列C．若数列na为等比数列，且37a，321S，则472aD．若数列na为等比数列，则3S，63SS，96SS，…为等比数列【答案】BD【解析】若数列na为等差数列，不妨设其公差为d,则13816139,2210aaaadaad,显然当1ad才相等，故A错误，而31236345696789..SaaaSSaaaSSaaa，作差可得63396633333339...NnnnnSSSdSSSSSSSSk成立，故B正确；若数列na为等比数列，且37a，321S，设其公比为q，则21217121aqaqq，作商可得1q或1,2q所以47a或472a，故C错误；由题意得na各项均不为0，而实数范围内，210qq，即30,kS且23333100NkkkaqqSSk，结合选项B的计算可得36339663333333...nnnnSSSqSSSSSSSS，故D正确.故选：BD.11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为na，每个月老鼠的总数量为nb，数列na，nb的前n项和分别为,nnST，可知112212,14,84,98abab，则下列说法正确的是（）A．66127aB．6627bC．66272SD．86773T【答案】BC【解析】由题意可得：1111126,72nnnnnnnabbbabb，即17nnbb，且114b，所以数列nb是以首项114b，公比7q的等比数列，则114727nnnb，可得1141777173nnnT，当2n时，116127nnnab，且112a满足上式，故1127nna，可得111277127nnnnaa，即数列na是以首项112a，公比7q的等比数列，可得121727217nnnS，综上可得：56127a，6627b，66272S，76773T.故B、C正确，A、D错误.故选：BC.12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知等比数列na满足10a，公比1q，且1220211aaa，1220221aaa，则（）A．20221aB．当2021n时，12naaa最小C．当1011n时，12naaa最小D．存在1011n，使得12nnnaaa【答案】AC【解析】对于A，∵10a，1q，∴0na，又1220211aaa，1220221aaa，∴202212202111aaaa，故A正确；对于B，C，等比数列na满足10a，公比1q，110nnaaq，11nnaqa，0na，1nnaa，na为递增数列，由等比数列的性质，21202122020101010121011aaaaaaa，又1220211aaa，202112202110111aaaa，0na，101101a，∵22202232021101110131012aaaaaaa，1220221aaa，234202211aaaaa，∴20212342022101211aaaaaa，∵1220211aaa，10a，1q，∴11a，111a，202123420221012111aaaaaa，即10121a，na为递增数列，故当1011n时，12naaa最小，故B错误，C正确；对于D，当1011n时，10111naa，na为递增数列，112nnnnaaaa，故D错误.故选：AC13．（2023·河北·校联考三模）若数列1,,4,8,ab为等比数列，则logab_______．【答案】4【解析】由题意得48a，248b，解得2a，16b，故2loglog164ab.故答案为：414．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）设等比数列na的前n项和为1211,,24nSaa，则使99100≥nS成立的n的最小值为__________.【答案】7【解析】由1211,24aa的公比为12q，所以11112211212nnnS，令199121002100nn，由于67264,2128，所以99100≥nS成立的n的最小值为7，故答案为：715．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）数列满足下列条件：12a，且*Nn，恒有21nnaan，则256a______．【答案】261【解析】21nnaan，7256128128(1281)(21)aaa6764(21)(21)a56732(21)(21)(21)a0171(21)(21)(21)a0172(21)(21)(21)0172(222)881(12)612261，故答案为：261．16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知121AA，当2n时，1nA是线段1nnAA的中点，点P在所有的线段1nnAA上，则1AP_______