第03讲 等比数列及其前n项和（练习）（原卷版）

第03讲等比数列及其前n项和（模拟精练+真题演练）1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若2mn，则kl=（）A．400B．500C．600D．8002．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列na的前n项和为nS，已知633SS，712a，则1a（）A．13B．12C．2D．33．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列na中，3416aa，564aa，则使得1na成立的n的最小值为（）A．7B．8C．9D．104．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在等比数列na中，132aa，5718aa，则35aa（）A．3B．6C．9D．185．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列na满足21143,1nnnaaaa，则5S（）A．40B．81C．121D．1566．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足112a，12nnaa，数列1na的前n项积为nT，则5T（）A．18B．116C．132D．1647．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列na中，2345674,16aaaaaa，则8910aaa（）A．4B．8C．32D．648．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列na，满足3122aaa，若存在两项ma，na，使得14mnaaa，则14mn最小值为（）A．2B．32C．13D．19．（多选题）（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下1a尺，第二天截取剩下的一半后剩下2a尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下5a尺，则下列说法正确的是（）A．5214aaB．318aC．34116aaD．123453132aaaaa10．（多选题）（2023·湖北武汉·统考三模）已知实数数列na的前n项和为nS，下列说法正确的是（）．A．若数列na为等差数列，则13862aaaa恒成立B．若数列na为等差数列，则3S，63SS，96SS，…为等差数列C．若数列na为等比数列，且37a，321S，则472aD．若数列na为等比数列，则3S，63SS，96SS，…为等比数列11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为na，每个月老鼠的总数量为nb，数列na，nb的前n项和分别为,nnST，可知112212,14,84,98abab，则下列说法正确的是（）A．66127aB．6627bC．66272SD．86773T12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知等比数列na满足10a，公比1q，且1220211aaa，1220221aaa，则（）A．20221aB．当2021n时，12naaa最小C．当1011n时，12naaa最小D．存在1011n，使得12nnnaaa13．（2023·河北·校联考三模）若数列1,,4,8,ab为等比数列，则logab_______．14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）设等比数列na的前n项和为1211,,24nSaa，则使99100≥nS成立的n的最小值为__________.15．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）数列满足下列条件：12a，且*Nn，恒有21nnaan，则256a______．16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知121AA，当2n时，1nA是线段1nnAA的中点，点P在所有的线段1nnAA上，则1AP_________.17．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在①122nnSS，②12nnnaa这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列na的前n项和为nS，12a，且满足________．(1)求na；(2)若(1)nnbna，求数列nb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知公差为正数的等差数列na的前n项和为2,3nSa，且136,,23aaa成等比数列.(1)求na和nS.(2)设11nnnbSS，求数列nb的前n项和nT.19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列na和nb满足：11a，1nnnaba，nnab（为常数，且1）．(1)证明：数列nb是等比数列；(2)若当3n和4n时，数列na的前n项和nS取得最大值，求nS的表达式．20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{na}的1a，2a，3a；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列nb的1b，2b，3b．第一列第二列第三列第一行147第二行369第三行258(1)请写出数列{na}，{nb}的一个通项公式；(2)若数列{nb}单调递增，设nnnbCa，数列{nC}的前n项和为nT．求证：6nT．21．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列na的前n项和为nS，满足21nnSa.等差数列nb满足4283,baba.(1)求,nnab的通项公式；(2)将数列na满足__________（在①②中任选一个条件）的第m项ma取出，并按原顺序组成一个新的数列nc，求nc的前20项和20T.①4logmkab，②31mkab，其中*Nk.22．（2023·广东·校联考模拟预测）记nS为数列na的前n项和，已知,2nSn的等差中项为na.(1)求证2na为等比数列；(2)数列13na的前n项和为nT，是否存在整数k满足,1nTkk？若存在求k，否则说明理由.1．（2022•乙卷（文））已知等比数列{}na的前3项和为168，2542aa，则6(a)A．14B．12C．6D．32．（2021•甲卷（文））记nS为等比数列{}na的前n项和．若24S，46S，则6(S)A．7B．8C．9D．103．（2021•甲卷（理））等比数列{}na的公比为q，前n项和为nS．设甲：0q，乙：{}nS是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4．（2020•新课标Ⅰ）设{}na是等比数列，且1231aaa，2342aaa，则678(aaa)A．12B．24C．30D．325．（2020•新课标Ⅱ）记nS为等比数列{}na的前n项和．若5312aa，6424aa，则(nnSa)A．21nB．122nC．122nD．121n6．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{}na的前4项和为15，且53134aaa，则3(a)A．16B．8C．4D．27．（2023•乙卷（理））已知{}na为等比数列，24536aaaaa，9108aa，则7a．8．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为nS，则6S．9．（2023•甲卷（理））记nS为等比数列{}na的前n项和．若6387SS，则{}na的公比为．10．（2019•新课标Ⅰ）记nS为等比数列{}na的前n项和．若113a，246aa，则5S．11．（2019•新课标Ⅰ）设nS为等比数列{}na的前n项和．若11a，334S，则4S．12．（2020•北京）已知{}na是无穷数列．给出两个性质：①对于{}na中任意两项ia，()jaij，在{}na中都存在一项ma，使得2imjaaa；②对于{}na中任意一项(3)nan…，在{}na中都存在两项ka，()lakl，使得2knlaaa．（Ⅰ）若(1nann，2，)，判断数列{}na是否满足性质①，说明理由；（Ⅱ）若12(1nnan，2，)，判断数列{}na是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（Ⅲ）若{}na是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}na为等比数列．