第05讲 数列求和（九大题型）（讲义）（解析版）

第05讲数列求和目录考点要求考题统计考情分析（1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．（2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．2023年甲卷（理）第17题，12分2023年II卷第18题，12分2023年I卷第20题，12分高考对数列求和的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列的求和主要考查等差、等比数列的前n项和公式及非等差、等比数列的求和方法，其综合性较强．数列求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查．一．公式法（1）等差数列na的前n项和11()(1)22nnnaannSnad，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列na的前n项和111(1)11，，nnnaqSaqqq，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①112123(1)nkknnn；122462(1)nkknnn②21(21)135(21)nkknn；③22222116123(1)(21)nkknnnn；④3333321(1)2123[]nknnkn二．几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列na与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．【解题方法总结】常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）111(1)1nnnn（2）1111()()nnkknnk（3）21111()4122121nnn（4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn（5）211111()(1)(1)(1)2(1)(1)nnnnnnnnn（6）22111414(21)(21)nnnn（7）314(1)(3)11114()()(1)(2)(3)(1)(2)(3)2312nnnnnnnnnnnnn（8）1(1)(1)(2)(1)(1).3nnnnnnnn（9）1(1)(2)(1)(2)(3)(1)(1)(2)4nnnnnnnnnnn（10）1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn（11）2222211111)(()nnnnn（12）222211112)42)((nnnnn积累裂项模型2：根式型（1）111nnnn（2）11()nknknkn（3）11(2121)22121nnnn（4）2211(1)11111(1)(1)1nnnnnnnn（5）333222121121nnnnn3333322233111(21121)2nnnnnnnnn（6）221(1)1(1)111(1)(1)11(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn积累裂项模型3：指数型（1）11112(21)(21)11(21)(21)(21)(21)2121nnnnnnnnn（2）113111()(31)(31)23131nnnnn（3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2nnnnnnnnnnnnnnnn（4）1111(41)31911333(2)2(2)22nnnnnnnnnnn（5）11(21)(1)(1)(1)(1)nnnnnnnn（6）13nnan，设1()3[(1)]3nnnaanbanb，易得11,24ab，于是111(21)3(23)344nnnann（7）222111(1)2(1)(1)(42)2(1)(42)2(1)2(1)2(1)2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1111(1)1111(1)(1)(1)()22(1)2222(1)2nnnnnnnnnnnnnn积累裂项模型4：对数型11logloglognanaaannaaa积累裂项模型5：三角型（1）11(tantan)coscossin()（2）11tan(1)tancoscos(1)sin1nnnn（3）1tantan(tantan)1tan()（4）tantan(1)tantan(1);tan1tan(1)1tantan(1)nnnannnnn，则tantan(1)tantan(1)tantan(1)1,1tan1tan1nnnnnnna积累裂项模型6：阶乘（1）1!(1)!1(1)!nnnn（2）2(2)(2)!(1)!(221111=-!(1)!!(2)!!(2)!2)nnnnnnnnnnnnn常见放缩公式：（1）21111211nnnnnn；（2）2111111nnnnn；（3）2221441124412121nnnnn；（4）11!111112!!!11rrnrrnTCrnrnrnrrrrr；（5）1111111312231nnnn；（6）1222121nnnnnnnn；（7）122211nnnnnnn；（8）122222212111212122nnnnnnnnn；（9）1211222211212121212122212121nnnnnnnnnnnnn2n；（10）32111111111111nnnnnnnnnnnnn111111121111211nnnnnnnnnnn112211nnn；（11）32212221111nnnnnnnnnnnnn2122211nnnnnnn；（12）01211122221111111nnnnnCCCnnnn；（13）111121122121212121nnnnnnn．（14）21211112()2()nnnnnnnnn．题型一：通项分析法例1．（2023·全国·高三专题练习）求和22122323322332322nnnnnS．【解析】∵122332322nnnnna222231333nn111213332213nnnn，∴2312312)4)9(13333222(213nnnnnS．2231222nnnS例2．数列9，99，999，的前n项和为()A．10(101)9nnB．101nC．10(101)9nD．10(101)9nn【答案】D【解析】数列通项101nna，23(10101010)nnSn10(110)110nn10(101)9nn．故选：D．例3．求数列1，(12)，2(122)，，21(1222)n，的前n项之和．【解析】由于1212112222121nnnna，所以前n项之和12(21)(21)(21)nnT123(2222)(111)n2(21)21nn122nn．变式1．（2023·全国·高三专题练习）数列22311,(12),122,1222,,122,n的前n项和为.【答案】122nn【解析】观察数列得到1122111222nnnna，所以前n项和1212212121nnnSaaa1212(12)2222212nnnnnn.故答案为：122nn.变式2．（2023·全国·高三对口高考）数列55,55,555,5555,,101,9n的前n项和nS.【答案】155051081819nn【解析】由题意，51019nna，所以2351011011011019nnS51010109110nn1551010819nn155051081819nn故答案为：155051081819nn变式3．（2023·全国·高三专题练习）1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即11235813213455，，，，，，，，，，该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列na，则数列na的前2022项的和为.【答案】2276【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，L各项除以3的余数，可得数列na为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，L，所以数列na是周期为8的数列，一个周期中八项和为112022109，又因为202225286，所以数列na的前2022项的和2022252982276S.故答案为：2276.【解题方法总结】先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前n项和问题应该强化的意识．题型二：公式法例4．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知数列na为等差数列，数列nb为等比数列，且*Nnb，若1212312342,15abaaabbbb．(1)求数列na，nb的通项公式；(2)设由na，nb的公共项构成的新数列记为nc，求数列nc的前5项之和5S．【解析】（1）设数列na的公差为d，数列nb的公比为q，因为11232,15aaaa则1122313aad，解得123ad，所以1(1)23(1)31naandnn，因为212342,15bbbbb，所以123111213bqbbqbq，则32221320qqq，所以2(2)(261)0qqq，因为*Nnb，所以2q=，11b，所