第05讲 数列求和（练习）（原卷版）

第05讲数列求和（模拟精练+真题演练）1．（2023·福建宁德·校考二模）已知nS是数列na的前n项和，12a，23a，34a，数列12nnnaaa是公差为1的等差数列，则40S（）A．366B．367C．368D．3692．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，L，即*12121,3,nnnaaaaannN，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列nb，则1232023bbbb的值为（）．A．2696B．2697C．2698D．27003．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，3212SSS，535S，则12233410111111aaaaaaaa（）A．1031B．1021C．3031D．20214．（2023·江西南昌·统考三模）已知nN，将数列{21}n与数列21n的公共项从小到大排列得到新数列na，则1210111aaa（）A．919B．1021C．1123D．12255．（2023·山东淄博·统考三模）如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第n个正方形的面积为na，则202321cos(π)lognnna（）A．1011B．1011C．1012D．10126．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列na满足各项均为正数，*24*,21,N2,6,,2,Nnnnnkkaabankk，数列nb的前n项和为nT，则*221NmmTmT的取值范围为（）A．2,3B．2,3C．0,3D．0,37．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知数列na，nb，12a，21a，11211nnnnnnnnnaaaaaaaaa，11nnb，nS是数列nnab的前n项和，则1000S（）A．656B．660C．672D．6748．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列na，且11a，数列1na的前n项和为nS，则正确的选项是（）．A．412aB．11nnaanC．21nnSnD．1004950a9．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割510.6182，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为na，则下列结论正确的有（）A．2022202411kkaaB．10112202411kkaaC．20222202220231kkaaaD．221211()nnnnnnaaaaaa10．（多选题）（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列na中，已知其前n项和为9,81nSS，且2514,,aaa等比数列，则下列结论正确的是（）A．21nanB．1210012100111100aaaC．2nSnD．设数列12nna的前n项和为nT，则122nnTn11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列na满足11a，22a，223nnnanaan为奇数为偶数，记数列na的前n项和为nS，若存在正整数m，k，使得221mkmSaS，则m的值是（）A．1B．2C．3D．412．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列na满足1211321323naanan，*nN，则12naaa.13．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列na满足21nnann，若数列na的前n项和为nS，100,99nAnnS，则A中所有元素的和为.14．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列na是等和数列，且12a，20228a，则这个数列的前2022项的和为．15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列na满足：222121nnnaaa，212222nnnaaa，若2122aa，则数列21na的前50项和为.16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列na的各项均为正数，其前n项和nS满足21nnSa，数列nb满足1111nnnbaa.(1)求na的通项公式；(2)设数列nb的前n项和为nT，若5254nmTm对一切*Nn恒成立，求实数m的取值范围.17．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列na中，11a，且1313,,aaa成等比数列，数列nb的前n项和nS满足22nnSb.(1)求数列na和nb的通项公式；(2)设nnncba，数列nc的前n项和nT，若不等式22log1nTnna对任意*Nn恒成立，求实数a的取值范围.18．（2023·河南·校联考模拟预测）在①14715aaa，②520S，③3390aS这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知公差不为0的等差数列na的前n项和为7,nSa是3a与15a的等比中项，___________.(1)求na的通项公式；(2)求数列2nna的前n项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{na}的1a，2a，3a；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列nb的1b，2b，3b．第一列第二列第三列第一行147第二行369第三行258(1)请写出数列{na}，{nb}的一个通项公式；(2)若数列{nb}单调递增，设nnnbCa，数列{nC}的前n项和为nT．求证：6nT．20．（2023·福建宁德·校考二模）已知nS为等差数列na的前n项和，63219SS，1121a．(1)求数列na的通项公式；(2)设1(2)1000nnab，求数列nb的前15项和15T．21．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知na是公比为q的等比数列．对于给定的(1,2,3)kkn，设()kT是首项为ka，公差为21ka的等差数列na，记()kT的第i项为()kib．若(1)(2)(2)112bbb，且(1)(2)23bb．(1)求na的通项公式；(2)求(2)(2)111niiibb；(3)求()1iinkb．1．（2023•甲卷（理））已知数列{}na中，21a，设nS为{}na前n项和，2nnSna．（1）求{}na的通项公式；（2）求数列1{}2nna的前n项和nT．2．（2023•乙卷（文））记nS为等差数列{}na的前n项和，已知211a，1040S．（1）求{}na的通项公式；（2）求数列{||}na的前n项和nT．3．（2023•新高考Ⅱ）已知{}na为等差数列，6,2,nnnanban为奇数为偶数，记nS，nT为{}na，{}nb的前n项和，432S，316T．（1）求{}na的通项公式；（2）证明：当5n时，nnTS．4．（2023•天津）已知{}na是等差数列，2516aa，534aa．（Ⅰ）求{}na的通项公式和1212nniia；（Ⅱ）已知{}nb为等比数列，对于任意*kN，若1221kkn剟，则1knkbab．()i当2k…时，求证：2121kknb；()ii求{}nb的通项公式及其前n项和．5．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d，且1d．令2nnnnba，记nS，nT分别为数列{}na，{}nb的前n项和．（1）若21333aaa，3321ST，求{}na的通项公式；（2）若{}nb为等差数列，且999999ST，求d．6．（2022•甲卷）记nS为数列{}na的前n项和．已知221nnSnan．（1）证明：{}na是等差数列；（2）若4a，7a，9a成等比数列，求nS的最小值．7．（2022•全国）设{}na是首项为1，公差不为0的等差数列，且1a，2a，6a成等比数列．（1）求{}na的通项公式；（2）令(1)nnnba，求数列{}nb的前n项和nS．8．（2021•乙卷）设{}na是首项为1的等比数列，数列{}nb满足3nnnab，已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为{}na和{}nb的前n项和．证明：2nnST．9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{}na满足11a，11,,2,nnnanaan为奇数为偶数（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列{}nb的通项公式；（2）求{}na的前20项和．