重难点突破01 数列的综合应用 （十三大题型）（解析版）

重难点突破01数列的综合应用目录1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键2、新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．4、数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．利用等价转化思想将其转化为最值问题.()aFn恒成立max()aFn；()aFn恒成立min()aFn.5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．（1）数列实际应用中的常见模型①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项na与第1n项1na的递推关系还是前n项和nS与前1n项和1nS之间的递推关系．在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．（2）解决数列实际应用题的3个关键点①根据题意，正确确定数列模型；②利用数列知识准确求解模型；③问题作答，不要忽视问题的实际意义．6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.放缩法证不等式的理论依据是：,ABBCAC；,ABBCAC.放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用例1．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数0a，按照上述规则实施第n次运算的结果为Nnan，若51a，且1,2,3,4iai均不为1，则0a（）A．5或16B．5或32C．5或16或4D．5或32或4【答案】B【解析】由题知131,,2nnnnnaaaaa为奇数为偶数，因为51a，则有：若4a为奇数，则54311aa，得40a，不合题意，所以4a为偶数，则4522aa；若3a为奇数，则43312aa，得313a，不合题意，所以3a为偶数，3424aa；若2a为奇数，则32314aa，得21a，不合题意，所以2a为偶数，且2328aa；若1a为奇数，则21318aa，得173a，不合题意，所以1a为偶数，且12216aa；若0a为奇数，则103116aa，可得05a；若0a为偶数，则01232aa.综上所述：05a或32.故选：B例2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为na，则使得22nan成立的n的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】由题意2132123,nnaaaaaan，2n，*Nn且11a，累加可得123nana，所以1122nnnan，∴1222nnn，得4n，即min5n．故选：C．例3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（）A．561B．595C．630D．666【答案】D【解析】由题意，第一层1个球，第二层123个，第三层1236个，第四层123410个，据此规律，第三十六层有小球36(136)123366662个.故选：D变式1．（2023·全国·高三专题练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段AB等分为线段,,ACCDDB，如图2.以CD为底向外作等边三角形CMD，并去掉线段CD，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段AB的长度为1，则图3中曲线的长度为（）A．2B．169C．6427D．3【答案】C【解析】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的43，因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以43为首项，43为公比的等比数列，所以当进行三次操作后的曲线长度为3464()327.故选：C变式2．（2023·全国·高三专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为12n，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，则此数列的前34项和为（）A．959B．964C．1003D．1004【答案】A【解析】将这个数列分组：第一组1个数2222；第二组2个数33322；，第七组7个数，这7个数的和为822第八组8个数9936841261268436922，前八组共36项，前36项和为2392222221004，所以前34项和为1004936959，故选：A．变式3．（2023·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列na本身不是等差数列，但从na数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列nb（则称数列na为一阶等差数列），或者nb仍旧不是等差数列，但从nb数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列nc（则称数列na为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（）．A．82B．152C．212D．282【答案】C【解析】由题意，数列1，1，2，8，64，…为na，且为一阶等比数列，设11nnnaba，所以nb为等比数列，其中11b，22b，公比为212bqb，所以12nnb，则1212322121122,2nnnnnnabbban，所以第8项为2182a．故选：C.【解题方法总结】（1）解决数列与数学文化相交汇问题的关键（2）解答数列应用题需过好“四关”题型二：数列中的新定义问题例4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知数列na的通项*21Nnann，如果把数列na的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为nb，再把数列nb的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为nc，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为nP，则数列nP前10项的和为（）A．1013B．1023C．2036D．2050【答案】C【解析】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列na的第1248,,,,aaaa即得到的数列nP的第n项为数列na的第12n项，因为*21Nnann，可得21nnP，所以2101210222102036PPP.故选：C.例5．（2023·人大附中校考三模）已知数列na满足：对任意的Nn，总存在Nm，使得nmSa，则称na为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（）①若2023nan，则na为“回旋数列”；②设na为等比数列，且公比q为有理数，则na为“回旋数列”；③设na为等差数列，当11a，0d时，若na为“回旋数列”，则1d；④若na为“回旋数列”，则对任意Nn，总存在Nm，使得nmaS．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①由2023nan可得1202312320232nnnSn，由nmSa可得(1)2023=20232nnm，取(1)2nnm即可，则na为“回旋数列”，故①正确；②当1q时，1nSna，1maa，由nmSa可得11naa，故当2n时，很明显11naa不成立，故na不是“回旋数列，②错误”；③na是等差数列，故11mamd，12nnnSnd，因为数列na是“回旋数列”，所以1112nnmdnd，即1112nnnmd，其中12nn为非负整数，所以要保证1nd恒为整数，故d为所有非负整数的公约数，且0d，所以1d，故③正确；④由①可得当2023nan时，na为“回旋数列”，取220232a，(1)20232mmmS，显然不存在m,使得220232mSa，故④错误故选：B例6．（2023·湖北武汉·统考三模）将1,2,,n按照某种顺序排成一列得到数列na，对任意1ijn，如果ijaa，那么称数对,ijaa构成数列na的一个逆序对.若4n，则恰有2个逆序对的数列na的个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】若4n，则14ij，由1,2,3,4构成的逆序对有4,3,4,2,4,1,3,2,3,1,2,1，若数列na的第一个数为4，则至少有3个逆序对，若数列na的第二个数为4，则恰有2个逆序对的数列na为1,4,2,3，若数列na的第三个数为4，则恰有2个逆序对的数列na为1,3,4,2或2,1,4,3，若数列na的第四个数为4，则恰有2个逆序对的数列na为2,3,1,4，3,1,2,4综上恰有2个逆序对的数列na的个数为5个.故选：B.变式4．（2023·全国·高三专题练习）记数列na的前n项和为nS，若存在实数0M，使得对任意的*nN，都有nSM，则称数列na为“和有界数列”．下列命题正确的是（）A．若na是等差数列，且首项10a，则na是“和有界数列”B．若na是等差数列，且公差0d，则na是“和有界数列”C．若na是等比数列，且公比1q，则na是“和有界数列”D．若na是等比数列，且na是“和有界数列”，则na的公比1q【答案】C【解析】对于A，若{}na是等差数列，且首项10a，当d0时，(1)2nnndS222ddnn，当n