第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）（解析版）

第03讲二项式定理目录考点要求考题统计考情分析（1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．2023年北京卷第5题，4分2023年天津卷第11题，5分2023年上海卷第10题，5分2022年I卷第13题，5分(1)今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当.(2)本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容.知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的rnrrnCab做二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第1r项：1rnrrrnTCab，其中的系数rnC（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，（2）二项式()nab的展开式的特点：①项数：共有1n项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r项的二项式系数为rnC，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；nnba)(④项的系数：二项式系数依次是012rnnnnnnCCCCC，，，，，，，项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：①（）②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1rnrrrnTCab0,1,2,3,,rn公式特点：①它表示二项展开式的第1r项，该项的二项式系数是；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n．注意：①二项式()nab的二项展开式的第r+1项和()nba的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的．②通项是针对在()nab这个标准形式下而言的，如()nab的二项展开式的通项是（只需把b看成b代入二项式定理）．2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0nnnCC；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11mmmnnnCCC．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnmnnCC．③二项式系数和令1ab，则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC，变形式1221rnnnnnnCCCC．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11ab，，则0123(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC，从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC．⑤最大值：如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项12nT的二项式系数2nnC最大；如果二项式的幂指数n是奇数，则中间两项12nT，112nT的二项式系数12nnC，12nnC相等且最大．（2）系数的最大项求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121nAAA，，，，设011()(1)(1)nnnrrnrrnnnnnnnabCaCabCabCb*Nn122(1)1nrrnnnnxCxCxCxxrnCrnrrnCabrnrrnCba1(1)rrnrrrnTCab第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对a，b的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a，b的值．①令，可得：②令11ab，，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若121210()nnnnnnfxaxaxaxaxa，则①常数项：令0x，得0(0)af．②各项系数和：令1x，得0121(1)nnfaaaaa．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i）当n为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2ffaaa；偶数项的系数和为135(1)(1)2ffaaa．（可简记为：n为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii）当n为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2ffaaa；偶数项的系数和为135(1)(1)2ffaaa．（可简记为：n为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若1210121()nnnnfxaaxaxaxax，同理可得．注意：常见的赋值为令0x，1x或1x，然后通过加减运算即可得到相应的结果．题型一：求二项展开式中的参数例1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）42xx的展开式中的常数项与321xax展开式中的常数项相等，则a的值为（）A．3B．2C．2D．3011222nnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCb1ab012nnnnnCCC012301nnnnnnnCCCCC02131nnnnnnnnCCCCCCn0213112nnnnnnnnnCCCCCC【答案】D【解析】42xx的展开式中的常数项为22424C()24xx，321xax展开式中的常数项032233321CC3axax,所以3324a,即3a,故选：D.例2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知12nxx的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（）A．4B．5C．6D．8【答案】C【解析】二项式12nxx的展开式的通项为32111CC22nrrnrrrrrnnxTxx，令302rn，即3nr，由于Nr，故n必为3的倍数，即n的可能取值为6.故选：C例3．（2023·全国·高三专题练习）62axx展开式中的常数项为－160，则a＝（）A．－1B．1C．±1D．2【答案】B【解析】62axx的展开式通项为62166662()(06),2)(rrrrrrrrTCaxCxrrNxa，∴令620r，解得3r，∴62axx的展开式的常数项为366336346(266)1010TCxaa，∴31a∴1a故选：B.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知6axx的展开式中的常数项为160，则实数a（）A．2B．-2C．8D．-8【答案】B【解析】6axx展开式的通项为：662166rrrrrrraTCxCxax，取3r得到常数项为333620160Caa，解得2a.故选：B变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知2nxx的展开式中第3项是常数项，则n（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】2nxx的展开式的通项3212CnkkkknTx，当2k时，62223212CnnTTx则602n，解得6n．故选：A【解题方法总结】在形如()mnNaxbx的展开式中求tx的系数，关键是利用通项求r，则Nmtrmn．题型二：求二项展开式中的常数项例4．（2023·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知0a，二项式62axx的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）A．36B．30C．15D．10【答案】C【解析】令1x，则可得所有项的系数和为6164a且0a，解得1a，∵621xx的展开式中的通项66316621CC,0,1,...,6kkkkkkTxxkx，∴当2k时，展开式中的常数项为2615C.故选：C例5．（2023·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式812xx的展开式中的常数项为（）A．1792B．－1792C．1120D．－1120【答案】C【解析】因为8841881TC212Crrrrrrrrxxx，令40r，得4r，所以二项式展开式中的常数项为44584T12C1120．故选：C.例6．（2023·北京房山·高三统考开学考试）262()xx的展开式中的常数项是（）A．240B．240C．15D．15【答案】A【解析】由题目可知621231662C2CkkkkkkkTxxx，0,1,,6k，令1230k，解得4k，所以当4k时为常数项，此时44562C240T，故选：A变式3．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）623112xxx的展开式中的常数项为（）A．20B．20C．－10D．10【答案】D【解析】因为666222331111122xxxxxxxx，621xx的展开式的通项公式为621231661C1CrrrrrrrTxxx，令1233r,得3r，令1230r,得4r，所以623112xxx的展开式中的常数项为：34334066311C1C2203010xxx.故选：D变式4．（2023·全国·高三专题练习）若2*31Nnxnx的展开式中存在常数项，则n（）A．*2NkkB．*3NkkC．*5NkkD．*7Nkk【答案】C【解析】2*31Nnxnx的二项展开通式为25*3311CC,NrnrrnrrrnnTxxnx，令55033rnnr，则n一定是5的倍数，故选：C.变式5．（2023·全国·高三对口高考）若*13Nnxnx展开式中含有常数项，则n的最小值是（）A．2B．3C．12D．10【答案】A【解析】211C(3)()C(3)knkkknknkknnTxxx，令20nk，得2nk，则1k时，n取最小值2.故选：A【解题方法总结】写出通项，令指数为零，确定r，代入．题型三：求二项展开式中的有理项例7．（2023·全国·高三专题练习）在53xy的展开式中，有理项的系数为（）A．10B．5C．5D．10【答案】A【解析】53xy的通项为55323155C1CrrrrrrrrTxyxy，0,1,2,3,4,5r.当1rT为有理项时，r既是奇数又能被3整除，所以3r，故展开式中有理项的系数为3351C10；故选：A.例8．（2023·全国·高考真题）二项式503(23)x的展开式中系数为有理数的项共有（）A．6项B．7项C．8项D．9项【答案】D【解析】二项式的通项250532315050C2)(3C(3)2rrrrrrrrTxx，若要系数为有理数，则25Z2r，Z3r，050r，且rZ，即Z2r，Z3r，易知满足条件的{0,6,12,18,24,30,36,42,48}r，故系数为有理数的项