第05讲 古典概型与概率的基本性质（八大题型）（讲义）（解析版）

第05讲古典概型与概率的基本性质目录考点要求考题统计考情分析（1）理解古典概型及其概率计算公式．（2）会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率．2023年乙卷（文）第9题，5分2023年甲卷（文）第4题，5分2022年I卷第5题，5分2020年II卷第4题，5分本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．经常出应用型题目，与生活实际相结合，要善于寻找合理的数学语言简化语言描述，凸显数学关系，通过分析随机事件的关系，找到适合的公式计算概率．但整体而言，本节内容在高考中的难度处于中等偏易．知识点1、随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用()PA表示．知识点2、古典概型（1）定义一般地，若试验E具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率nAkPAnn．知识点3、概率的基本性质（1）对于任意事件A都有：0()1PA．（2）必然事件的概率为1，即()=1P；不可能事概率为0，即()=0P．（3）概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则()()()PABPAPB．推广：一般地，若事件1A，2A，…，nA彼此互斥，则事件发生（即1A，2A，…，nA中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：1212(...)()()...()nnPAAAPAPAPA．（4）对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则()1()PAPB，()1()PBPA，且()()()1PABPAPB．（5）概率的单调性：若AB，则()()PAPB．（6）若A，B是一次随机实验中的两个事件，则()()()()PABPAPBPAB．【解题方法总结】1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2、解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式()APA包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A的概率．3、解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．题型一：简单的古典概型问题例1．（2023·高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（）①从区间1,10内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点个数不是有限的，故不是古典概型；④由于硬币质地不均匀，因此样本点发生的可能性不相等，故④不是古典概型.故选：A.例2．（2023·全国·高一专题练习）下列关于古典概型的说法正确的是（）①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则()kPAn.A．②④B．②③④C．①②④D．①③④【答案】D【解析】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确；在④中，基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知()kPAn，故④正确．故选：D．例3．（2023·全国·高三专题练习）下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率kPAn.其中所正确说法的序号是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④【答案】D【解析】根据古典概型的基本概念及概率公式，即可得出结论②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选:D.变式1．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选6只小白鼠，随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环境，另外3只分配到对照组且饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.则指定的两只小鼠分配到不同组的概率为（）A．310B．25C．12D．35【答案】D【解析】指定的两只小鼠分配到相同组的概率为2124362CC2C5，所以指定的两只小鼠分配到不同组的概率为23155.故选：D变式2．（2023·青海西宁·高三统考开学考试）乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼．某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1白的概率是（）A．47B．37C．914D．12【答案】A【解析】根据古典概型，从7个乒乓球中随机选取2个，基本事件总数有27C21个，其中恰为1黄1白的基本事件有4311CC12个，所以概率124217P．故选：A．变式3．（2023·河北保定·统考二模）三位同学参加某项体育测试，每人要从100m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（）A．112B．13C．512D．712【答案】C【解析】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有234(C)个，它们等可能，有且仅有两人选择的项目完全相同的事件A含有的基本事件数有222344CC(C1)个，所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率222344234CC(C1)5()(C)12PA.故选：C变式4．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，则2个小球在同一个盒子的概率为（）A．35B．12C．38D．13【答案】D【解析】将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，共有：239种方法，2个小球在同一个盒子有3种情况，所以2个小球在同一个盒子的概率为3193.故选：D.题型二：古典概型与向量的交汇问题例4．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知正九边形129AAA，从122391,,,AAAAAA中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（）A．12B．23C．49D．59【答案】A【解析】可以和向量12AA构成数量积有2391,,AAAA一共8个向量，其中数量积为的正数的向量有：23348919,AAAAAAAA，，一共4个，由对称性可知，任取两个向量，它们的数量积是正数的概率为：41=82.故选：A例5．（2023·全国·高三专题练习）已知,{2,1,1,2}ab，若向量(,)mab，(1,1)nr，则向量m与n所成的角为锐角的概率是（）A．316B．14C．38D．716【答案】B【解析】向量m与n所成的角为锐角等价于0mn，且m与n的方向不同，即(,)(1,1)0mnabab，则满足条件的向量m有(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2)，其中(1,1)m或(2,2)m时，与n同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，又m的取法共有4416种，则向量m与n所成的角为锐角的概率是41164．故选：B．例6．（2023·甘肃武威·甘肃省武威第一中学校考模拟预测）连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(,)mn与向量(1,1)的夹角2的概率是（）A．12B．13C．712D．512【答案】D【解析】由题设，向量(,)mn的可能组合有36种，要使向量(,)mn与向量(1,1)的夹角2，则(1,1)(,)0nmnm，即nm，满足条件的情况如下：2m时，{1}n，3m时，{1,2}n，4m时，{1,2,3}n，5m时，{1,2,3,4}n，6m时，{1,2,3,4,5}n，综上，共有15种，故向量(,)mn与向量(1,1)的夹角2的概率是1553612.故选：D变式5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量(,)mab与向量(2,1)n垂直的概率为（）A．19B．29C．13D．23【答案】B【解析】求出组成向量(,)mab的个数和与向量(2,1)n垂直的向量个数，计算所求的概率值．从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，可以组成向量(,)mab的个数是339（个)；其中与向量(2,1)n垂直的向量是(1,2)m和(2,4)m，共2个；故所求的概率为29P．故选：B．变式6．（2023·云南楚雄·高三统考期末）从集合0,1,2,3中随机地取一个数a，从集合3,4,6中随机地取一个数b，则向量,mba与向量1,2n垂直的概率为（）A．112B．13C．14D．16【答案】D【解析】计算出所有的基本事件数，记事件:Amn，列举出事件A所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出事件A的概率.从集合0,1,2,3中随机地取一个数a，从集合3,4,6中随机地取一个数b，基本事件总数4312N.记事件:Amn，当向量,mba与向量1,2n垂直时，202mnbaba，则事件A包含的基本事件有：2,4、3,6（形如,ab），共2个，因此，21126PA.故选：D.变式7．（2023·湖北·高考真题）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量,amn与向量1,1b的夹角为，则0,2的概率是（）A．512B．12C．712D．56【答案】C【解析】0,2，0abmn，即mn，事件“0,2”所包含的基本事件有：1,1、2,1、2,2、3,1、3,2、3,3、4,1、4,2、4,3、4,4、5,1、5,2、5,3、5,4、5,5、6,1、6,2、6,3、6,4、6,5、6,6，共21个，所有的基本事件数为2636，因此，事件“0,2”的概率为2173612.故选：C.题型三：古典概型与几何的交汇问题例7．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示数，他们将1，3，6，10，15，…，12nn，称为三角形数；将1，4，9，16，25，…，2n，称为正方形数．现从200以内的正方形数中任取2个，则其中至少有1个也是三角形数的概率为（）A．2591B．2491C．2378D．1126【答案】A【解析】令2200n，∵*nN，故200以内的正方形数有14个：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144