第03讲 二项式定理（练习）（解析版）

第03讲二项式定理（模拟精练+真题演练）1．（2023·云南大理·统考模拟预测）已知多项式325432543210(1)(2)xxaxaxaxaxaxa，则012345aaaaaa（）A．0B．4C．8D．32【答案】A【解析】依题意，令=1x，得32012345(11)(12)0aaaaaa.故选：A2．（2023·四川绵阳·统考二模）32nx展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（）A．8B．7C．6D．5【答案】C【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故142n，得6n.故选：C3．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）设21091001910111xxxaaxaxax，则2a等于（）A．45B．84C．120D．165【答案】D【解析】依题意，22222322222349103349210CCCCCCCCCCa322232224491055910CCCCCCCC322323991010101111109CCCCCC165321.故选：D4．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知61(21)axx展开式中5x的系数为48，则实数a（）A．1B．1C．2D．2【答案】A【解析】二项式6(21)x的通项公式为：666166C21C21rrrrrrrrTxx61(21)axx的展开式中，5x的系数为2421566C2(1)1C21151632648aa，解得1a．故选：A5．（2023·江西景德镇·统考三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为nS，设25log11nnbS，将数列nb中的整数项依次取出组成新的数列记为nc，则20c的值为（）A．545B．51C．560D．48【答案】B【解析】由题意知：第n行数字之和构成的数列的通项为12n，122112nnnS，51nbn；则数列nb的整数项为：4,6,9,11,14,16,，数列nc的奇数项是以4为首项，5为公差的等差数列；偶数项是以6为首项，5为公差的等差数列，2145151ncnn，265151ncnn，20510151c.故选：B.6．（2023·甘肃兰州·统考一模）6122xx的展开式的常数项是（）A．40B．-40C．20D．-20【答案】D【解析】二项式6122xx的通项公式为662621661C2C212rrrrrrrrTxxx，令6203rr，所以6122xx的展开式的常数项是336236C2120，故选：D7．（2023·河南开封·统考三模）已知数列na的前n项和为nS，满足*231nnSanN，函数fx定义域为R，对任意xR都有111fxfxfx，若221f，则2023fa的值为（）A．21B．12C．21D．12【答案】B【解析】当1n时，1112231Saa，可得11a，当2n时，231nnSa，112312nnSan，相减得132nnaan，所以数列na是以3为公比的等比数列，则13nna.由111fxfxfx，得1()11(1)1()(2)1()1(1)11()fxfxfxfxfxfxfx1()fx，所以11(4)()1(2)()fxfxfxfx，所以函数fx是以4为周期的周期函数，因为202220233a202202022120212202020212022202220222022(41)C4C4C4C41，所以2023a被4除的余数为1，由111fxfxfx得1(1)(2)1(1)fff，得1(1)211(1)ff，得(1)12f.所以2023()(1)12faf.故选：B8．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知*12nxnxN的展开式中常数项为20，则n（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】211122nnnxxxxxx，其通项公式为：222rr12n2n1CCrnrnrrTxxx，当nr时，n2nC20，解得：3n.故选：A.9．（2023·山东德州·三模）若12211120121112231111xaaxaxaxax，则（）A．01aB．1201231011123aaaaaaaC．12122aaaD．1211122111212222aaaa【答案】D【解析】由题意可知12122(3[121)]xx，故012012C(1)1a，A错误；由12211120121112231111xaaxaxaxax，令0x，可得1201231011123aaaaaaa，B错误；令2x，则1201212(43)1aaaa，故121201110aaaa，C错误；令32x，则12121112021112323022222aaaaa，故121112021112012222aaaaa，D正确，故选：D10．（2023·全国·模拟预测）81xy的展开式中系数最大的项为（）A．70B．56C．3556xy或5356xyD．4470xy【答案】D【解析】81xy的展开式的通项公式为881881C1CrrrrrrrrTxxyy，881CCrrr，由二项式系数中，48C最大，此时该二项展开式中第5项的系数4481C最大，∴81xy的展开式中系数最大的项为4448484170Cxxyy，故选：D．11．（多选题）（2023·福建宁德·校考模拟预测）若102100121021111xaaxaxax，xR，则（）A．01aB．1012103aaaC．2180aD．9123102310103aaaa【答案】AC【解析】令1x得：100(211)1=a，所以选项A正确；令2x得：10012103aaaa，所以10121031aaa，所以选项B错误；因为101021211xx，所以10110C2(1),rrrTx82210C2180,a选项C正确；102100121021111xaaxaxax，两边对x求导得：29123109112021213101xaaxaxax，令2x得：9123102310203aaaa，选项D错误；故选：AC.12．（多选题）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知多项式220121(12)(13),19mnnxxaaxaxaxa，则（）A．12mnB．12324naaaaC．24aD．12323368naaana【答案】AD【解析】因为22(12)(13)(441)(13)mmxxxxx，(13)mx的展开式的通项公式为1C(3)(3)CkkkkkkmmTxx，1a14(3)Cm4319m，得5m，2257nm，所以12mn，故A正确；令0x得01a，令1x，得250127(12)(13)aaaa，所以712332133aaaa，故B不正确；122255414(3)C1(3)Ca154，故C不正确；由52201727(12)(13)xxaaxaxax两边对x求导得，5242(12)(2)(13)(12)5(13)(3)xxxx261237237aaxaxax，令1x，得52412372(1)(2)(2)(1)5(2)(3)237aaaa，所以1237237368aaaa，故D正确.故选：AD13．（多选题）（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知3241nxx展开式中的第三项的系数为45，则（）A．9nB．展开式中所有系数和为1024C．二项式系数最大的项为中间项D．含3x的项是第7项【答案】BCD【解析】3241nxx展开式的第三项为：2422232232223412431CCCnnnnnnTxxxxx，所以第三项的系数为：2C45n，所以10n，故A错误；所以103241xx，所以令1x得展开式中所有系数和为1021024，故B正确；展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；通项公式为102101130323412411010101CCCrrrrrrrrrTxxxxx，令1130312r，解得6r，所以含3x的项是第7项.故D正确；故选：BCD.14．（多选题）（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若54325101051fxxxxxx，则（）A．fx可以被31x整除B．1fxy可以被4xy整除C．30f被27除的余数为6D．29f的个位数为6【答案】AB【解析】543255101051(1)fxxxxxxx，()fx可以被31x整除，故A正确；5(1)()fxyxy，1fxy可以被4xy整除，故B正确；5505144455555530(301)(272)C27C272C272C2f051444555C27C272C272275(30)f被27除的余数为5，故C错误；55051444555529(291)(302)C30C30(2)C30(2)(2)f051444555C30C30(2)C30(2)32，个位数为1028，故D错误.故选：AB15．（多选题）（2023·广东佛山·校考模拟预测）naxx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是252，则下列说法正确的是（）A．10nB．各项的二项式系数之和为1024C．1aD．各项的系数之和为1024【答案】ABC【解析】因为naxx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n，选项A正确；所以10axx的展开式中二项式系数之和为011010101010CCC21024，故选项B正确；根据二项式定理知naxx的通项式为1010211