第04讲 随机事件、频率与概率（六大题型）（讲义）（解析版）

第04讲随机事件、频率与概率目录考点要求考题统计考情分析（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．（2）理解事件间的关系与运算．2023年上海卷第5题，4分本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事件的关系以对应的概率求解．整体而言，本节内容在高考中的难度处于偏易．知识点1、随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．知识点2、样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果1，2，…，n，则称样本空间12,,,n为有限样本空间．知识点3、随机事件、确定事件（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．（3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．知识点4、事件的关系与运算①包含关系：一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或者称事件A包含于事件B），记作BA或者AB．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．②相等关系：一般地，若BA且AB，称事件A与事件B相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作AB（或AB）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作AB（或AB）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：知识点5、互斥事件与对立事件（1）互斥事件：在一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，即=AB，则称事件A与事件B互斥，可用下图表示：如果1A，2A，…，nA中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件1A，．2A．，…，nA彼此互斥．（2）对立事件：若事件A和事件B在任何一次实验中有且只有一个发生，即AB不发生，AB则称事件A和事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为A．（3）互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．知识点6、概率与频率（1）频率：在n次重复试验中，事件A发生的次数k称为事件A发生的频数，频数k与总次数n的比值kn，叫做事件A发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A发生的频率kn总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作()PA．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率kn随着试验次数的增加稳定于概率()PA，因此可以用频率kn来估计概率()PA．题型一：随机事件与样本空间例1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：①若任取xA，则xB是必然事件；②若任取xA，则xB是不可能事件；③若任取xB，则xA是随机事件；④若任取xB，则xA是必然事件．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取xA，则xB是必然事件，故①正确；对于②：任取xA，则xB是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取xB，则xA是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取xB，则xA是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C．例2．（2023·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（）A．标准大气压下，水加热到100C，必会沸腾B．走到十字路口，遇到红灯C．长和宽分别为,ab的矩形，其面积为abD．实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,ab的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．例3．（2023·全国·高三专题练习）袋中装有形状与质地相同的4个球，其中黑色球2个，记为12BB、，白色球2个，记为12WW、，从袋中任意取2个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：.【答案】121121{},,BBBWBW（答案不唯一）【解析】从袋中任取2个球，共有如下情况121112212212,,,,,BBBWBWBWBΩ},,{BBBWBW，此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.故答案为：121121Ω},,{BBBWBW.(答案不唯一)变式1．（2023·全国·高一专题练习）将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为.【答案】0,1,2,3【解析】因为将一枚硬币抛三次，其正面朝上的次数可能为0,1,2,3，所以该试验样本空间为0,1,2,3.故答案为：0,1,2,3.变式2．（2023·高一课时练习）设样本空间Ω＝{1，2，3}，则Ω的不同事件的总数是.【答案】8【解析】集合{1，2，3}的子集个数为328，所以Ω的不同事件的总数是8，故答案为：8变式3．（2023·全国·高一专题练习）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为．【答案】0,1,2,3,4【解析】由分析可知取出的4件产品的次品个数为0，1，2，3，4，所以样本空间为0,1,2,3,4，故答案为：0,1,2,3,4.【解题方法总结】确定样本空间的方法（1）必须明确事件发生的条件．（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．题型二：随机事件的关系与运算例4．（2023·全国·高三专题练习）端午节是我国传统节日，记事件A“甲端午节来宝鸡旅游”，记事件B“乙端午节来宝鸡旅游”，且1()3PA，3()4PB，假定两人的行动相互之间没有影响，则()PAB（）A．56B．712C．34D．14【答案】A【解析】依题意1()3PA，3()4PB且A、B相互独立，所以13135()34346PABPAPBPAB.故选：A.例5．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A与事件B互斥，记事件B为事件B对立事件.若()0.6PA，()0.2PB，则()PAB（）A．0.6B．0.8C．0.2D．0.48【答案】B【解析】因为事件A与事件B互斥，所以AB，所以()()1()0.8PABPBPB.故选：B例6．（2023·全国·高三专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（）A．ADB．BDC．ACDD．ABBD【答案】D【解析】“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中飞机，另一种是两枚炮弹都击中飞机.所以AD，BD，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，所以ACD，又BD包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件AB表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”，所以ABBD.故选：D变式4．（2023·全国·高三专题练习）某家族有,XY两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为415，出现Y性状的概率为215，,XY两种性状都不出现的概率为710，则该成员,XY两种性状都出现的概率为（）A．115B．110C．215D．415【答案】B【解析】设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B，则,XY两种性状都不出现为事件AB，两种性状都出现为事件AB，所以，42,1515PBPA，710PAB，所以，3110PABPAB，又因为PABPAPBPAB，所以，110PABPAPBPAB，故选：B变式5．（2023·上海长宁·统考一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为PA，事件B的概率为PB；则1PAB是下列哪个事件的概率（）A．两个点数都是偶数B．至多有一个点数是偶数C．两个点数都是奇数D．至多有一个点数是奇数【答案】D【解析】由题意，事件AB为：两个点数都为奇数，由概率1PAB指的是事件AB的对立事件的概率，则事件AB的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.故选：D.变式6．（2023·全国·高三专题练习）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M“甲元件故障”，N“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（）A．MNB．MNC．MND．MN【答案】C【解析】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件M和N同时发生，即事件MN发生.故选：C.变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知0.3PA，0.1PB，若BA，则PAB（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【答案】A【解析】由于BA，所以0.1PABPB.故选：A【解题方法总结】事件的关系运算策略（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．（2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．题型三：频率与概率例7．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在一个口袋中放有m个白球和n个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为．（小数点后保留一位小数）【答案】0.7【解析】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，所以摸到红球概率的估计值为3480.7500».故答案为：0.7例8．（2023·全国·高三对口高考）下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，