第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（七大题型）（讲义）（解析版）

第06讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式目录考点要求考题统计考情分析（1）了解两个事件相互独立的含义．（2）理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．2023年甲卷（理）第6题，5分2022年乙卷（理）第10题，5分2022年I卷第20题，12分本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事件的关系以对应的概率求解．全概率公式将会是一个新的出题点，思维难度会略大．但整体而言，本节内容在高考中的难度处于中等偏易．知识点1、条件概率（一）定义一般地，设A，B为两个事件，且()0PA，称()()()|PABPBAPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．注意：（1）条件概率|()PBA中“|”后面就是条件；（2）若()0PA，表示条件A不可能发生，此时用条件概率公式计算|()PBA就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0PA的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()PBA．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B与C互斥，则(||()(|))PBCAPBAPCA．注意：（1）如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么()|)(PBPBA；（2）已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求|()PBA，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即|()nABnABnPABPBAnAnAPAn．知识点2、相互独立与条件概率的关系（一）相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A，B，如果)(|)(PBAPB，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的概率．设()0PA，根据条件概率的计算公式，()()()()|PABPBPBAPA，从而()()()PABPAPB．由此我们可得：设A，B为两个事件，若()()()PABPAPB，则称事件A与事件B相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若()0PA，则()|)()(PABPAPBA．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)nnn*N，个事件的相互独立性，即若事件1A，2A，…，nA相互独立，则这n个事件同时发生的概率1212()()()()nnPAAAPAAPA．（二）事件的独立性（1）事件A与B相互独立的充要条件是()()()PABPAPB．（2）当()0PB时，A与B独立的充要条件是()()|PABPA．（3）如果()0PA，A与B独立，则()()()()()()()|PABPAPBPBAPBPAPA成立．知识点3、全概率公式（一）全概率公式（1）|()()()()(|)PBPAPBAPAPBA；（2）定理1若样本空间中的事件1A，2A，…，nA满足：①任意两个事件均互斥，即ijAA，12ijn，，，，，ij；②12nAAA；③0iPA，12in，，，．则对中的任意事件B，都有12nBBABABA，且11()()()()|nniiiiiPBPBAPAPBA．注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）贝叶斯公式（1）一般地，当0()1PA且()0PB时，有()()()()()()()()()()||||PAPBAPAPBAPABPBPAPBAPAPBA（2）定理2若样本空间中的事件12nAAA，，，满足：①任意两个事件均互斥，即ijAA，12ijn，，，，，ij；②12nAAA；③01iPA，12in，，，．则对中的任意概率非零的事件B，都有12nBBABABA，且1()()()()()()()()|||jjjjjniiiPAPBAPAPBAPABPBPAPBA注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件B发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．（2）贝叶斯公式充分体现了|()PAB，()PA，()PB，|()PBA，|()PBA，()PAB之间的转关系，即()()()|PABPABPB，()()()()()||PABPABPBPBAPA，|()()()()(|)PBPAPBAPAPBA之间的内在联系．题型一：条件概率例1．（2023·云南大理·统考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（）A．35B．57C．710D．914【答案】D【解析】设事件A表示“小孩诚实”，事件B表示“小孩说谎”，则0.1PBA，0.5PBA，0.9PA，0.1PA，则0.90.10.09PABPAPBA，0.10.50.05PABPAPBA，故0.14PBPABPAB，故0.0990.1414PABPABPB.故选：D例2．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（）A．14B．110C．25D．712【答案】C【解析】记事件A“第一箱中取书”，事件B“从第二箱中取书”．事件iC“第i次从箱中取到的书是科技书”，1,2i,则由题意知，12PAPB，111223211(),(),()555410PCAPCBPCCA,121113231(),()()()54102PCCBPCPBPCBPAPCA,所以1212122111()()()()()()()()PCCAPAPCCBPBPCCPCCPCPC1131221021025故选：C例3．（2023·广西柳州·统考模拟预测）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为（）A．0.5B．0.625C．0.8D．0.9【答案】A【解析】设发生中度雾霾为事件A，刮四级以上大风为事件B，依题意，0.25PA，0.4PB，0.2PAB，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为0.20.50.4PABPABPB.故选：A变式1．（2023·河南南阳·高三南阳中学校考开学考试）袋子中装有大小､形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（）A．12B．13C．23D．34【答案】B【解析】设第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B，则事件AB为第一次摸到红球且第二次摸到红球，可得1111212224CC+CC61A122PB，112124CC21A126PAB，所以13PABPABPB.故选：B.变式2．（2023·云南曲靖·高三校联考阶段练习）有首歌道“大理三月好风光，蝴蝶泉边好梳妆”，近年来大理州一直致力开发旅游事业，吸引着大批的游客前往大理旅游.现有甲、乙两位游客慕名来到大理，准备从苍山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉五个景点中随机选择一个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少一人选择蝴蝶泉”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则PBA∣（）A．35B．89C．2D．52【答案】B【解析】分别记景点苍山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉分别为a，b，c，d，e.则事件A包含的样本点有,,,,,,,,,,,,,,,,,aebecedeeeeaebeced，共9种情况，其中“甲和乙选择的景点不同”有,,,,,,,,,,,,,,,aebecedeeaebeced，共8种情况，所以89PBA∣.故选：B变式3．（2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件A：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件B：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则PBA（）A．17B．935C．13D．37【答案】C【解析】根据题意，从7个数中任取5个数，则基本事件总数为57C21，这5个数的中位数是4的基本事件有2233CC9个，所以93217PA，其中5个数的平均数都是4的基本事件有1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，5，6，共3种情况，这3种情况恰好也是AB的基本事件，所以31217PAB，所以13PABPBAPA，故选：C【解题方法总结】用定义法求条件概率)(ABP的步骤（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算()PA，()PAB；（3）代入公式求(()|))(PABPBAPA．题型二：相互独立事件的判断例4．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知A，B，C为三个随机事件且PA，PB，PC0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】A，B，C相互独立,则满足PABCPAPBPC，且PABPAPB，PBCPBPC，PACPAPC；A，B，C两两独立则满足PABPAPB，PBCPBPC，PACPAPC；故而A，B，C相互独立则有A，B，C两两独立，但是A，B，C两两独立不能得出A，B，C相互独立，故A正确．故选：A例5．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知事件A，B满足01PA，01PB，则不能说明事件A，B相互独立的是（）A．PABPABB．PABPAC．PBAPBD．PBAPBA【答案】A【解析】对于A，掷一枚质地均匀的骰子，事件A为向上的点数不超过4，事件B为向上的点数为4或5，即1,2,3,4A，4,5B，5,6A，满足12PABPAB，但16PAB，212339PAPB，所以事件,AB不相互独立，故A错误；对于B，因为PABPABPAPB，所以PABPAPB，所以事件,AB相互独立，故B正确；对于C，因为PABPBAPBPA，所以PABPAPB，所以事件,AB相互独立，故C正确；