第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（练习）（解析版）

第06讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（模拟精练+真题演练）1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（）A．1423B．2855C．1415D．2755【答案】C【解析】设1A“失踪的飞机后来被找到”，2A“失踪的飞机后来未被找到”，B“安装有紧急定位传送器”，则10.7PA，2120.3,0.6,10.90.1PAPBAPBA，安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为11111220.70.6140.70.60.30.115PAPBAPABPAPBAPAPBA.故选：C.2．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（）．A．13B．12C．23D．18【答案】B【解析】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，所以2435C3C5PA，1335C3C10PAB，所以3110325PABPBAPA．故选：B3．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）某医疗仪器上有A、B两个易耗元件，每次使用后，需要更换A元件的概率为0.3，需要更换B元件的概率为0.5，则在第一次使用后就要更换元件的条件下，A、B两个元件都要更换的概率是（）A．0.15B．0.65C．313D．513【答案】C【解析】记事件:E第一次使用后就要更换元件，事件:FA、B两个元件都要更换，则110.310.50.65PE，0.30.50.15PEF，由条件概率公式可得0.1530.6513PEFPFEPE.故选：C.4．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知事件,AB满足0.5PA，0.2PB，则（）A．若BA，则0.5PABB．若A与B互斥，则0.7PABC．若A与B相互独立，则0.9PABD．若|0.2PBA，则A与B不相互独立【答案】B【解析】对于A，若BA，则()0.2PABPB，所以A错误；对于B，若A与B互斥，则()()0.7PABPAPB，所以B正确；对于C，若A与B相互独立，可得A与B相互独立，所以()()(10.5)(10.2)0.4PABPAPB，所以C错误；对于D，由|0.2PBA，可得()()|0.2()0.5PABPABPBAPA，所以()0.1PAB，所以()()()PABPAPB，所以A与B相互独立，所以D错误.故选：B.5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“PABCPAPBPC”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】D【解析】解析：一方面，考虑Ω,,,abcd含有等可能的样本点，,,,,,AabBacCad.则11,24PAPBPCPABPBCPAC，故,,ABC两两独立，但1148PABC，故此时，PABCPAPBPC不成立.另一方面，考虑Ω1,2,3,4,5,6,7,8含有等可能的样本点，1,2,3,4,3,4,5,6,4,6,7,8ABC.则11,28PAPBPCPABC111822PAC，故,AC不独立，也即,,ABC两两独立不成立.综上，“,,ABC两两独立”是“PABCPAPBPC”的既不充分也不必要条件.故选：D.6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前两名才能出线，晋级到1/8决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二的概率为0.3；若获得小组第一，则1/8决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则1/8决赛获胜的概率为0.3．那么在已知该队小组出线的条件下，其1/8决赛获胜的概率为（）A．0.54B．0.63C．0.7D．0.9【答案】C【解析】设该队小组出线为事件A，该队1/8决赛获胜为事件B，则0.30.60.9PA，0.60.90.30.30.63PAB，所以0.63|0.70.9PABPBAPA．故选：C.7．（2023·广东佛山·统考模拟预测）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件A“甲参加跳高比赛”，事件B“乙参加跳高比赛”，事件C“乙参加跳远比赛”，则（）A．事件A与B相互独立B．事件A与C为互斥事件C．512PCAD．19PBA【答案】C【解析】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有2113421322CCCA36A不同的安排方法，事件A“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有33A6种方法；若跳高比赛安排1人，则有212312CCA6种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有6612种，则121()363PA，同理121()363PB，若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有22A2种不同的安排方法，所以21()3618PAB，因为()()()PABPAPB，事件A与B不相互独立故A错误；对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有1132C+C5种，所以5()36PAC，所以5()5361()123PACPCAPA，故C正确；对于D，1()1181()63PABPBAPA，故D错误.故选：C8．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为p和1p.假设发送信号0和1是等可能的.已知接收到1的概率为0.525，则p的值为（）A．0.8B．0.85C．0.9D．0.95【答案】D【解析】由题意得：110.10.52522p，解得0.95p，故选：D.9．（2023·广东深圳·校考二模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，设事件iA为第一次取出的球为i号，事件iB为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的是（）A．331(|)6PBAB．31()4PAC．313()48PBD．331()24PBA【答案】C【解析】由题意可得12311,24PAPAPA，故B正确；对于A，33PBA表示在第一次取出的球为3号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以3316PBA，故A正确；对于C，31PBA表示在第一次取出的球为1号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以311,4PBA∣32PBA表示在第一次取出的球为2号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以3214PBA∣，应用全概率公式,有333111111111|24444648iiiPBPAPBA，故C错误；对于D，利用条件概率可得3333316PBAPBAPA，解得33124PBA，故D正确故选：C10．（2023·山东潍坊·三模）已知事件,AB,13PB,3|4PBA，1|2PBA，则PA（）A．14B．13C．23D．12【答案】C【解析】由条件概率公式可知3|4PABPBAPA,即34PABPA①,1|2PABPBAPA,即12PABPA②,而1PAPA，所以1PAPA③，又已知213PABPABPBPB④,①②③④联立可得23PA.故选：C11．（多选题）（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以1A和2A表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以B表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（）A．事件1A与事件B相互独立B．1711PBAC．3255PBD．2916PAB【答案】BCD【解析】对选项A：1A发生时B发生的概率是711，1A不发生时B发生的概率是611，由事件的独立性概念知，事件1A与事件B不相互独立，A错误；对选项B：111477101141110PBAPBAPA，B正确；对选项C：4766321011101155PB，C正确；对选项D：226691011321655PABPABPB，D正确；故选：BCD．12．（多选题）（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件12,AA和3A表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（）A．2()5PBB．15|11PBAC．事件B与事件1A相互独立D．123,,AAA是两两互斥的事件【答案】BD【解析】依题意得151()102PA，221()105PA，33()10PA，则15(|)11PBA，故B正确；24(|)11PBA，34(|)11PBA，所以112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA1514342115111011922，故A不正确；因为1555()101122PBA，1199()()22244PAPB，11()()()PBAPAPB，所以事件B与事件1A不相互独立，故C不正确；根据互斥事件的定义可知123,,AAA是两两互斥的事件，故D正确.故选：BD13．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%在该市场中随机买一种品牌的95N口罩，记123,,AAA表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，记B表示买到的口罩是优质品，则（）A．230.5PAAB．10.8PBAC．0.81PBD．20.3PAB∣【答案】AC【解析】由题意得123