第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（练习）（解析版）

第07讲离散型随机变量的分布列与数字特征（模拟精练+真题演练）1．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（）A．1张B．2张C．3张D．4张【答案】B【解析】设中奖的概率为p，30天中奖的天数为X，则30,XBp若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为19210C1C5p，13065EX，若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为112822210CCC17C45p，173430453EX，若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率为112733210CCC8C15p，8301615EX，若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率为112644210CCC2C3p，230203EX，根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，故选：B.2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为)e0,1,2,!kPXkkk（，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X服从参数为(0)的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（）A．41eB．44eC．694eD．69e【答案】D【解析】由题意可知23PXPX，即23ee2!3!解得3，所以33e0,1,2,!kPXkkk，从而133331e1!ePX，故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为23639eeP.故选：D3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）随机变量Y的分布列如下表，且()3EY，则(35)DY（）Y02aP16m13A．10B．15C．40D．45【答案】D【解析】由题意得11163m，得12m，所以111()023623EYa，解得6a，所以222111()0323635623DY，所以2(35)3()9545DYDY故选：D.4．（2023·海南·校联考模拟预测）已知离散型随机变量的分布列如下表：135P0.3m0.4则其数学期望E（）A．1B．0.3C．2.3D．3.2【答案】D【解析】分布列中出现的所有的概率之和等于1．0.30.41m，0.3m，随机变量的数学期望10.330.350.43.2E．故选：D.5．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知随机变量X的分布列为：X023P12m2m则EX（）A．2B．53C．43D．1【答案】C【解析】由1312m，解得16m，则11140232633EX.故选：C.6．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）将字母a，a，b，b，c，c放入如图所示的3×2的表格中，每个格子各放一个字母，若字母相同的行的个数为，则的数学期望为（）A．12B．35C．45D．34【答案】B【解析】字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中的不同结果有222642CCC90种，随机变量的可能值为0,1,3，1112333223CCCAA211),(3)9059015(PP，5(((2180)11)3)15151PPP所以的数学期望为8213()013155155E.故选：B7．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设01a，则随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在0,1内减小时，（）A．DX减小B．DX增大C．DX先减小后增大D．DX先增大后减小【答案】C【解析】根据题意可得，011()33aaEX，222111111()(0)()(1)333333aaaDXa22196()666222727aaa所以DX在1(0,)2单调递减，在1(,1)2单调递增，所以DX先减小后增大.故选：C.8．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（）A．34B．1C．98D．54【答案】B【解析】设硬币反面朝上的次数为,(0)XX，由题可知，每次抛正面朝上的概率为12，反面朝上概率为112，则21111(0),(1)1,2222PXPX231111111(2)1,,()1,222222nnPXPXn所以2311111()0122222nEXn234211111()01222222nEXn两式相减可得，23121111122222nnEXn，即231111122111111122222212nnnnEXnn，整理得，11112()11222nnnnEXn，因为12()112limlimnnnnEX，所以硬币反面朝上的次数期望为1，故选:B.9．（2023·四川自贡·统考三模）一组数据1x、2x、3x、4x、5x的方差为12，则121x、221x、321x、421x、521x的方差为（）A．2B．3C．4D．12【答案】A【解析】设原数据随机变量为X，根据题可知原数据方差12DX，则新数据随机变量可表示为21X，根据方差公式可知21212422DXDX.故选：A.10．（2023·山东枣庄·统考三模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则()DX（）A．29B．49C．227D．83【答案】A【解析】由题意，X可能取值为2，32X包含事件为取出的两个球为1，2所以23112C3PX3X包含事件为取出的两个球为1，3或2，3所以23223C3PX12823333EX，2221282()233339DX.故选：A.11．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）已知甲盒中有2个红球，1个篮球，乙盒中有1个红球，2个篮球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为(1,2,3)ipi，从各盒中取得红球的个数为(1,2,3)ii，则（）A．12332ppp.B．132()()()EEEC．12()()DDD．23()()DD【答案】ABC【解析】可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有2个红球，1个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出23个红球，13个篮球；乙盒中有1个红球，2个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出13个红球，23个篮球，那么拿出一个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有43个红球，23个篮球，乙盒子内还有23个红球，43个篮球，丙盒子中有1个红球，1个篮球，故142323p，221323p，312p，12332ppp，A选项正确；(1,2,3)ii满足两点分布，故122()133E，1212()339D，211()133E，2122()339D，311()122E，3111()224D，132()()()EEE，12()()DD23()()DD，B,C选项正确，D选项错误.故选：ABC.12．（多选题）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知两个离散型随机变量,XY，满足21YX，其中X的分布列如下：X012Pab16若()1EX，则（）．A．16aB．23bC．()2EYD．4()3DY【答案】ABD【解析】由分布列的性质，可得116ab，解得56ab①，因为1EX，所以101216ab，即23b②，联立①②解得16a，23b，∴22212110111216363DX，因为21YX，所以211EYEX，144433DYDX.故选：ABD.13．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在国家宪法日来临之际，某中学开展“学宪法、讲宪法”知识竞赛，一共设置了7道题目，其中5道是选择题，2道是简答题。现要求从中不放回地抽取2道题，则（）A．恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是37B．记抽到选择题的次数为X，则107EXC．在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到简答题的概率是521D．第二次抽到简答题的概率是27【答案】BD【解析】从7道题中不放回地抽取2道题共有：2776C2121种方法，对于A，恰好抽到一道选择题、一道简答题有1152CC10种方法，所以恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是1021，故A错误；对于B，记抽到选择题的次数为X，0,1,2X，所以025227CC10C21PX，115227CC101C21PX，205227CC102C21PX，所以110103010012212121217EX，故B正确；对于C，第一次抽到选择题为事件E，第二次抽到简答题为事件F，则5()7PE，525()7621PEF，则3()110(|)5()37PEFPFEPE，故C错误；对于D，第一次抽到简答题为事件G，第二次抽到简答题为事件F，所以第二次抽到简答题的概率是2152122()7676427PEFPGF，故D正确,故选：BD.14．（多选题）（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）随机变量的分布列如表：其中0xy，下列说法正确的是（）012Px3y23yA．1xyB．53yEC．D有最大值D．D随y的增大而减小【答案】ABC【解析】由题意可知2133yyx，即1xy，故A正确；25012333yyyEx，故B正确；222552501233333xDyyyyy222255252510123333339yyyyyyyy，因为0xy，1xy，易得01y，而22539fyyy开口向下，对称轴为2750y，所以fy在270,50上单调递增，在27,150上单调递减，故fy在2750y处取得最大值，所以D随着y的增大先增大后减小，当2750y时取得最大值，故C正确，D错误.故选：ABC.15．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）在财务审计中，我们可以用“本・福特定律”来检验数据是否造假.本・福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据(均为正实数)中，首位非零的数字是1~9这九