第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（六大题型）（讲义）（解析版）

第07讲离散型随机变量的分布列与数字特征目录考点要求考题统计考情分析（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．（2）理解并会求离散型随机变量的数字特征．2023年I卷第21题，12分2023年甲卷（理）第19题，12分2023年上海卷第19题，14分2023年北京卷第18题，13分从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，特别是解答题中，更是经常出现．随着计算机技术和人工智能的发展，概率统计逐步成为应用最广泛的数学内容之一．这部分内容作为高考数学的主干内容之一，会越来越受到重视．主要以应用题的方式出现，多与经济、生活实际相联系，需要在复杂的题目描述中找出数量关系，建立数学模型，并且运用数学模型解决实际问题．知识点一．离散型随机变量的分布列1、随机变量在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，0X表示反面向上，1X表示正面向上．（3）随机变量的线性关系：若X是随机变量，YaXb，ab，是常数，则Y也是随机变量．2、离散型随机变量对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．注意：（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．3、离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为12inxxxx，，，，，，X取每一个值ix(12)in，，，的概率()iPXxip，以表格的形式表示如下：X1x2xixnxP1p2pipnp我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也用等式()iiPXxp，12in，，，表示X的分布列．4、离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：（1）0ip，12in，，，；（2）121nppp．注意：①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．知识点二．离散型随机变量的均值与方差1、均值若离散型随机变量X的分布列为X1x2xixnxP1p2pipnp称1122()1iinnEXxpxpxpxp为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．注意：（1）均值()EX刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征；（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．2、均值的性质（1）()ECC（为常数）．（2）若YaXb，其中ab，为常数，则Y也是随机变量，且()()EaXbaEXb．（3）1212()()()EXXEXEX．（4）如果12XX，相互独立，则1212()()()EXXEXEX．3、方差若离散型随机变量X的分布列为X1x2xixnxP1p2pipnp则称21(()())niiiDXxEXp为随机变量X的方差，并称其算术平方根()DX为随机变量X的标准差．注意：（1）2(())ixEX描述了(12)ixin，，，相对于均值()EX的偏离程度，而()DX是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值()EX的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．4、方差的性质（1）若YaXb，其中,ab为常数，则Y也是随机变量，且2()()DaXbaDX．（2）方差公式的变形：22()()[()]DXEXEX．题型一：离散型随机变量例1．（2023·高二课时练习）下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性【答案】C【解析】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为5，是常量，A错误；对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；C对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.故选：C.例2．（2023·全国·高三专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．取到白球的个数C．至多取到1个白球D．取到的球的个数【答案】B【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个，ACD错误；故选：B.例3．（2023·全国·高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（）A．电灯泡的使用寿命XB．小明射击1次，击中目标的环数XC．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值XD．一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X【答案】B【解析】对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；对于B，小明射击1次，击中目标的环数X是变量，且其取值为0,1,2,...,10，故X为离散型随机变量，故B符合题意；对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；对于D，一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.故选：B.变式1．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则3表示（）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．变式2．（2023·全国·高三专题练习）对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为()A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品【答案】D【解析】由题意k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第1k次检测的是一件次品.故选D.变式3．（2023·浙江·高三专题练习）袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…【答案】B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.题型二：求离散型随机变量的分布列例4．（2023·全国·高三对口高考）数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数的分布列．【答案】0124P381314124【解析】的可能取值是0、1、2、4，443(0)A383P，1444C21(1)A3P，2444C1(2)A4P，4411(4)A24P.的分布列为：0124P381314124故答案为：0124P381314124例5．（2023·全国·高三对口高考）假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台阶，则某人走完这段楼梯的单阶步数的分布列是．【答案】1357911P12435144718145721144【解析】据题意，的可能取值为1，3，5，7，9，11，＝1时，还需走5个两阶，共六步走完，所以共有16C6种不同的走法；同理，＝3时，有37C35种；＝5时，有58C56种；＝7时，有79C36种；＝9时，有910C10种；＝11时，有1种，所以，走完这段楼梯共有6＋35＋56＋36＋10＋1＝144种不同的走法．61114424P，353144P，567514418P，36171444P，105914472P，111144P，的分布列如下：1357911P12435144718145721144故答案为：1357911P12435144718145721144例6．（2023·全国·高三对口高考）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的分布列是．【答案】0124P341919136【解析】将这个小正方体抛掷1次，则向上的数为0的概率为3162；向上的数为1的概率为2163；向上的数为2的概率为16．将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为0,1,2,4，1111113(0)222223264P，111(1)339P，111(2)2369P，111(4)6636P，则的分布列是0124P341919136故答案为：0124P341919136变式4．（2023·全国·高三对口高考）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数的分布列是．【答案】23456P121418116116【解析】分别记,,iiiABC为甲、乙、丙在第i局获胜，则12iiiPAPBPC.由已知，可取2,3,4,5,6.2表示事件“甲连胜两局”或“乙连胜两局”，所以121211111222222PPAAPBB.3表示事件“甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜丙胜”，所以1231233PPACCPBCC11111112222224.4表示事件“甲胜丙胜乙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜甲胜”，所以123412344PPACBBPBCAA111111111222222228.5表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜甲胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜乙胜”，所以12345123455PPACBAAPBCABB11111111111222222