重难点突破01 概率与统计的综合应用（十八大题型）（解析版）

重难点突破01概率与统计的综合应用目录题型一：决策问题例1．（2023·甘肃兰州·高三兰化一中校考期中）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为13，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为16，25，n，其中01n．(1)若13n，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求n的范围．【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件A，则213412C339PA；该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件B，则2413252531653656531390PB．（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为X，依题意，1~3,3XB，则1313EX，该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为Y，随机变量Y的可能取值为：0，1，2，3．355101,62nPYn35235515132111666305nPYnnn，12112(1)6565523126530nPYnnn，1362152530nPYnn，随机变量Y的分布列：Y0123P12n13230n21130n15n113221117300123230301530nnnnnEY，因为该考生更希望进入甲大学的面试，则EYEX，即1730130n，解得13030n，所以n的范围为：13030n.例2．（2023·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为23，甲与丙比赛，甲赢的概率为p，其中1223p．(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金6万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金3.6万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望EX的取值范围．【解析】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：112151113339Pppp第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：2111133Pppp2113p因为1223p，所以12121033PPpp，12PP所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛．（2）由已知9X万元，或7.2X万元由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛．此时，业余队获胜的概率为：1519Pp专业队获胜的概率为321283339Pppp所以，非平局的概率为1351993PXPPp平局的概率为13417.2193PXPPpX的分布列为：X97.2PX5193p4193pX的期望为514197.28.20.69393EXppp由1223p，所以数学期望EX的取值范围为8.5,8.6（单位：万元）例3．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为(300500)aa元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，商品日销售量（单位：件）678910甲平台的天数1426262410乙平台的天数1025352010假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据．．．．．．中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．【解析】（1）令事件A“甲平台日销售量不低于8件”，则2624103()1005PA，令事件B“从甲平台所有销售数据．．．．．．中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，则23233332381CC555125PB（2）设甲平台的日销售收入为X，则X的所有可能取值为6240,7270,8300,9330,10360.aaaaa所以，X的分布列为X6240a7270a8300a9330a10360aP1410026100261002410010100所以，14262624()(6240)(7270)(8300)(9330)100100100100EXaaaa10(10360)7.9297100aa，设乙平台的日销售收入为Y，则Y的所有可能取值为6240,7280,8320,9355,10390.aaaaa所以，Y的分布列为：Y6240a7280a8320a9355a10390aP1010025100351002010010100所以，210253520()(6240)(7280)(8320)(9355)100100100100EYaaaa10(10390)100a7.95316a.所以，()()0.0519,EYEXa令0.05190a得380a，令0.05190a得380a所以，当300380a时，选择甲平台；当380a时，甲乙平台均可；当380500a时，选择乙平台.变式1．（2023·江西·校联考模拟预测）某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定4个问题，假设李明能且只能对其中3个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为34.由李明和王华各自从中随机抽取2个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立.(1)求李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率；(2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为X和Y，求,XY的期望EX､EY和方差DX､DY，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.【解析】（1）李明回答问题正确的个数为2的概率23124C31C62p；王华回答问题正确的个数为2的概率2239416p；李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率1219921632ppp.（2）由题意知：李明回答问题正确个数X所有可能的取值为1,2，1324C311C62PX，2324C312C62PX，11312222EX，22313111222224DX；王华回答问题正确的个数32,4YB，33242EY，33321448DY；EXEY，DXDY，派李明代表该班参加竞赛更好.变式2．（2023·全国·高三专题练习）根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.05．今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失20000元，为保护设备，有以下3种方案：方案1：修建保护围墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水；方案2：修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水；方案3：不采取措施工地的领导该如何决策呢？【解析】用1X，2X，3X分别表示方案1，2，3的损失，第一方案，建保护墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水，无大洪水有大洪水损失300063000概率0.950.05平均损失1()30000.95630000.056000EX．第二方案：建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水，2()7000EX．第三方案：不采取措施．无洪水有小洪水有大洪水损失02000060000概率0.70.250.05平均损失3()600000.05200000.258000EX．因为231()()()EXEXEX综上，采取方案一较好．题型二：道路通行问题例4．（2023·重庆·高三重庆市育才中学校考阶段练习）9月6日位于重庆朝天门的来福士广场开业，成了网红城市的又一打卡胜地重庆育才谢家湾校区与来福士之间的驾车往返所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进行统计，结果如下：T（小时）0.80.911.1频数（次）10015020050以这500次驾车往返所需时间的频率代替某人1次驾车往返所需时间的概率．（1）记T的期望为()ET，求(())PTET；（2）某天有3位教师独自驾车从谢家校区返于来福士，记X表示这3位教师中驾车所用时间少于()ET的人数，求X的分布列与()EX．【解析】（1）P（T＝0.8）1005000.2，P（T＝0.9）1505000.3，P（T＝1）2005000.4，P（T＝1.1）505000.1，∴T的分布列为：T0.80.911.1P0.20.30.40.1E（T）＝0.8×0.2+0.9×0.3+1×0.4+1.1×0.1＝0.94，∴P（T＜E（T））＝P（T＝0.8）+P（T＝0.9）＝0.2+0.3＝0.5．（2）某天有3位教师独自驾车从谢家校区返于来福士，记X表示这3位教师中驾车所用时间少于E（T）的人数，∴X～B（3，12），∴P（X＝0）03311()28C，P（X＝1）123113()228C，P（X＝2）223113()228C，P（X＝3）33311()28C，∴X的分布列为：X0123P18383818E（X）＝31322．例5．（2023·湖北·统考一模）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为0,10，分别有五个级别：2)[0,T，畅通；2,4T，基本畅通；4,6T，轻度拥堵；6,8T，中度拥堵；8,10T，严重拥堵.在晚高峰时段（2T），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.【解析】(1)由频率分