第01讲 三角函数的概念与诱导公式（八大题型）（讲义）（解析版）

第01讲三角函数的概念与诱导公式目录考点要求考题统计考情分析（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．（2）理解同角三角函数的基本关系式22sincos1，sintancos．（3）掌握诱导公式，并会简单应用．2023年甲卷第14题，5分2022年浙江卷第13题，5分2021年甲卷第8题，5分高考对此也经常以不同的方式进行考查，将三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用公式．知识点一：三角函数基本概念1、角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是ZkkS，360．（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2、弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad180，rad1801，180rad1．（3）扇形的弧长公式：rl，扇形的面积公式：22121rlrS．3、任意角的三角函数（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(yxP，时，则ysin，xcos，)0(tanxxy．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P)(yxP，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则rysin，rxcos，)0(tanxxy三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinR＋＋－－cosR＋－－＋tan}2|{Zkk，＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4、三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：1cossin22．（2）商数关系：)2(tancossink；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Zkk22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【解题方法总结】1、利用1cossin22可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tancossin可以实现角的弦切互化．2、“cossincossincossin，，”方程思想知一求二．222(sincos)sincos2sincos1sin2222(sincos)sincos2sincos1sin222(sincos)(sincos)2题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2023·辽宁·校联考一模）已知角的终边上一点的坐标为4π4πsin,cos55，则的最小正值为（）A．π5B．3π10C．4π5D．17π10【答案】D【解析】因为4ππ3π5210，所以4ππ3π3πsinsin=cos521010，而4ππ3π3πcoscos=sin521010，所以角的终边上点的坐标可写为：3π3πcos,sin1010，所以3π2π,Z10kk-+?=，因此的最小正值为3π17π2π1010.故选：D例2．（2023·全国·高三专题练习）下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2π45ZkkB．9π360Z4kkC．360315ZkkD．5ππZ4kk【答案】C【解析】对于A，B，2π45Zkk，9π360Z4kk中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为9ππ2π44与315是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为360315Zkk，C正确；对于D，5ππZ4kk，不妨取0k，则表示的角5π4与9π4终边不相同，D错误，故选：C例3．（2023·广东·高三统考学业考试）下列各角中与437角的终边相同的是（）A．67B．77C．107D．137【答案】B【解析】与437角的终边相同的角为437360,Zkk，当1k时，43736077，B正确；经验证，其他三个选项均不合要求.故选：B变式1．（2023·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知角的终边为射线(0)yxx，则下列正确的是（）A．54B．2cos2C．tan12D．sin14【答案】C【解析】因为角的终边为射线(0)yxx，所以，角0,2时，54，所以，角的集合为5=+2,Z4kk，故A选项错误；所以，52coscos242k，故B选项错误；53tantan2tan12424k，故C选项正确；53sinsin2sin14442k，故D选项错误.故选：C【解题方法总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是锐角，那么2是（）．A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角【答案】C【解析】因为是锐角,所以0,2,所以20,,满足小于180°的正角.其中D选项不包括90，故错误.故选：C例5．（2023·全国·高三专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限【答案】A【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，即其终边不可能在第一、二象限.故选A.例6．（2023·浙江·高三专题练习）若角满足＝236k(k∈Z)，则的终边一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【答案】D【解析】当0k时，6，终边位于第一象限当1k时，56，终边位于第二象限当2k时，32，终边位于y轴的非正半轴上当3k时，26，终边位于第一象限综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或y轴的非正半轴上故选D变式2．（1990·上海·高考真题）设角属于第二象限，且coscos22，则2角属于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】Q为第二象限角，90360180360kkkZ，45180901802kkkZ；当2knnZ时，2为第一象限角；当21knnZ时，2为第三象限角；2为第一或第三象限角；coscos22，cos02，2为第三象限角.故选：C.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知角的终边与53π的终边重合，则3的终边不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为角的终边与53π的终边重合，所以523k，kZ，所以52393k，kZ，令3()knnZ，则52()39nnZ，此时3的终边位于第二象限；令31()knnZ，则112()39nnZ，此时3的终边位于第三象限；令32()knnZ，则172()39nnZ，此时3的终边位于第四象限．所以3的终边不可能在第一象限，故选：A．变式4．（2023·全国·高三专题练习）若角是第一象限角，则2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【答案】C【解析】因为是第三象限角，所以36036090,kkkZ，所以18018045,2kkkZ，当k为偶数时，2是第一象限角，当k为奇数时，2是第三象限角.故选：C．【解题方法总结】先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）n的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例7．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为2π3，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为__________.【答案】62π【解析】设扇形的半径为R，利用扇形面积计算公式212π3π23SR，可得3R；所以该扇形的弧长为2π32π3l，所以周长为262πlR.故答案为：62π例8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知扇形圆心角60,所对的弧长6πl，则该扇形面积为__________.【答案】54π【解析】由弧长公式可得π6π183lrr==，所以扇形面积为116π1854π22Slr=，故答案为：54π例9．（2023·全国·高三专题练习）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为2:1，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为1S，圆面剩余部分的面积为2S，当212SS时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________.【答案】221π【解析】设扇子圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为2π，圆的半径为r，则2112Sr，2212π2rS，因为212SS，即2212π2212rr，即2π2，所以2π221π21.故答案为：221π变式5．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____平方米.【答案】100【解析】因为径长为20米，下周长为20米，所以由题意中“以径乘周四而一”可知，该扇形菜田的面积1