第02讲 三角恒等变换（九大题型）（讲义）（解析版）

第02讲三角恒等变换目录考点要求考题统计考情分析（1）会推导两角差的余弦公式（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式（3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用（4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换2023年II卷第7题，5分2023年I卷II卷第8题，5分2022年II卷第6题，5分2021年甲卷（文）第11题，5分三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用．这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用．知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sincoscossin；②cos()coscossinsin；③tantantan()1tantan；知识点二．二倍角公式①sin22sincos；②2222cos2cossin2cos112sin；③22tantan21tan；知识点三：降次（幂）公式2211cos21cos2sincossin2;sin;cos;222知识点四：半角公式1cos1cossin;cos;2222sin1costan.21cossina知识点五．辅助角公式)sin(cossin22baba（其中abbaababtancossin2222，，）．【解题方法总结】1、两角和与差正切公式变形)tantan1)(tan(tantan；1)tan(tantan)tan(tantan1tantan．2、降幂公式与升幂公式2sin21cossin22cos1cos22cos1sin22；；；2222)cos(sin2sin1)cos(sin2sin1sin22cos1cos22cos1；；；．3、其他常用变式sincos1cos1sin2tantan1tan1cossinsincos2costan1tan2cossincossin22sin222222222；；．4、拆分角问题：①=22；=(+)-；②()；③1[()()]2；④1[()()]2；⑤()424．注意：特殊的角也看成已知角，如()44．题型一：两角和与差公式的证明例1．（浙江省绍兴市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，90BC，1AD，点E为BC上一点，且AEDE，过点D作DFAB于点F，设BAE，DAE.(1)利用图中边长关系DFBECE，证明：sinsincoscossin；(2)若13BECE，求sin2cos2.【解析】（1）在RtADE△中，90AED，DAE，1AD，则sin,cosDEAE，在RtADF中，90AFD，DAF，1AD，则sin()DF，在Rt,RtABEECD中，90BC，CEDBAE，则sincos,cossinBECE，依题意，四边形BCDF是矩形，则DFBCBECE，所以sin()sincoscossin.（2）由13BECE及（1）知，1sincoscossin3，则tantan，而,为锐角，即有，2sin23，又2BAD是锐角，于是5cos2cos23，所以25sin2cos23.例2．（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①3sin33sin4sin；②3cos34cos3cos根据以上研究结论，回答：(1)在①和②中任选一个进行证明：(2)求值：sin1098.【解析】（1）若选①，证明如下：22sin3sin2sin2coscos2sin2sincos12sinsin2232sin1sin12sinsin3sin4sin.若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos2cossin2sin2cos1cos2sincos3232coscos21coscos4cos3cos.（2）由题，sin1098sin18，因为90218318，则cos54sin36，所以由公式②及正弦的二倍角公式得34cos183cos182sin18cos18-，又因为cos180，所以24cos1832sin18-，所以241sin1832sin18，整理得24sin182sin1810-解得51sin184或514，又sin180，所以51sin184.例3．（2023·全国·高三专题练习）(1)试证明差角的余弦公式()C：cos()coscossinsin；(2)利用公式()C推导：①和角的余弦公式()C，正弦公式()S，正切公式()T；②倍角公式(2)S，(2)C，(2)T.【解析】(1)不妨令2,kkZ.如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点()1,0A，以x轴非负半轴为始边作角,,，它们的终边分别与单位圆相交于点1cos,sinP，1cos,sinA，cos,sinP.连接11,APAP.若把扇形OAP绕着点O旋转角，则点,AP分别与点11,AP重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与11AP重合，从而，AP＝11AP，∴11APAP.根据两点间的距离公式，得：2222[cos1]sin(coscos)(sinsin)，化简得：coscoscossinsin.当2kkZ时，上式仍然成立.∴，对于任意角,有：coscoscossinsin.(2)①公式()C的推导：coscoscoscossinsincoscossinsin.公式S的推导：sincos2cos2coscossinsin22cossinsincos正切公式T的推导：sintancossincoscossincoscossinsintantan1tantan②公式2S的推导：由①知，sin2sincossinsincos2sincos.公式2C的推导：由①知，22cos2coscoscossinsincossin.公式2T的推导：由①知，2tantan2tantan2tan1tantan1tan.变式1．（2023·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A，1(cos,sin)P，2(cos,sin)P，(cos(),sin())P，从这个图出发.（1）推导公式：cos()coscossinsin；（2）利用（1）的结果证明：1coscos[cos()cos()]2，并计算sin37.5cos37.5的值.【解析】（1）因为12(cos,sin),(cos,sin),(cos(),sin())PPP，根据图象，可得2212APPP，即2212||APPP，即2222(cos()1)sin()(coscos)(sinsin).即cos()coscossinsin.（2）由（1）可得cos()coscossinsin，①cos()coscossinsin②由①+②可得：2coscoscos()cos()所以1coscos[cos()cos()]2，所以111sin37.5cos37.5sin75cos15cos4530222.1cos45cos30sin45sin3021232162222228变式2．（2023·广东揭阳·高三统考期中）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：coscoscossinsin．具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，．它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．则cos,sinOA，cos,sinOB，由向量数量积的坐标表示，有coscossinsinOAOB．设OA，OB的夹角为，则coscoscoscossinsinOAOBOAOB，另一方面，由图（1）可知，2k；由图（2）可知2k，于是2k，kZ．所以coscos，也有coscoscossinsin；所以，对于任意角，有：coscoscossinsinC．此公式给出了任意角，的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C．有了公式C以后，我们只要知道cos，cos，sin，sin的值，就可以求得cos的值了．阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：(1)判断1OCOMOM是否正确？（回答“正确”，“不正确”，不需要证明）(2)证明：coscos2coscos22．【解析】（1）正确；因为对于非零向量n，1||nn是n方向上的单位向量，又||1OC且OM与OC共线，所以1||OCOMOM.（2）因为M为AB的中点，则OMAB，从而在OAM△中，||||coscos22OMOA，又M是AB的中点，∴coscossinsin,22OM，又1||OCOMOM，cos,sin22OC，所以1coscoscos22cos2，化简得，coscos2coscos22．【解题方法总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路．题型二：两角和与差的三角函数