第04讲 解三角形（八大题型）（讲义）（原卷版）

第04讲解三角形目录考点要求考题统计考情分析（1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形．（2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．（3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2023年I卷II卷第17题，10分2023年甲卷第16题，5分2023年乙卷第18题，12分2022年I卷II卷第18题，12分高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．知识点一：基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式==2sinsinsinCabcRAB2222cosabcbcA；2222cosBbcaac；2222cosCcabab．常见变形（1）2sinaRA，2sinBbR，2sinCcR；（2）sin2aAR，sinB2bR，sinC2cR；222cosA2bcabc；222cosB2cabac；222cosC2abcab．（2）面积公式：111sinsinsin222SABCabCbcAacB1()42abcSABCabcrR（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）知识点二：相关应用（1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin:sin:sinabcABC②大边对大角大角对大边sinsincoscosabABABAB③合分比：b2sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinBsinabcabbcacacRABCABBCACAC（2）ABC△内角和定理：ABC①sinsin()sincoscossinCABABABcoscoscaBbA同理有：coscosabCcB，coscosbcAaC．②coscos()coscossinAsinBCABAB；③斜三角形中，tantantantan()1tantanABCABABtantantanCtantantanCABAB④sin()cos22ABC；cos()sin22ABC⑤在ABC中，内角ABC，，成等差数列2,33BAC．知识点三：实际应用（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．（3）南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．【解题方法总结】1、方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式sinabAsinbAabababab解的个数一解两解一解一解无解2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,abc的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到ABC．3、三角形中的射影定理在ABC中，coscosabCcB；coscosbaCcA；coscoscbAaB．题型一：正弦定理的应用例1．（2023·福建龙岩·高三校联考期中）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若π5π4,,412aAC，则b（）A．23B．25C．26D．6例2．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，设命题p：sinsinsinabcCAB，命题q：ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinsincosABC且23c，π6A，则sinsincaCA（）A．83B．43C．8D．4变式1．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若coscosaBbAc，且5C，则B（）A．10B．5C．310D．25变式2．（2023·河南郑州·高三郑州外国语中学校考阶段练习）a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边．已知4a，sinsinsinabACcB，则ABC外接圆的面积为（）A．16B．64πC．128D．256变式3．（2023·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinsincos3aABbAa，则ba（）A．2B．3C．22D．23变式4．（2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若2ab，则2222sinsinsinBAA的值为（）A．12B．14C．1D．12变式5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos3cosbAaB，2a，则c＝（）A．4B．6C．22D．23【解题方法总结】（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；．sin1sinsin1AAA大角求小角一解（锐）两解－（一锐角、一钝角）小角求大角－一解－1（直角）无解－（3）两边一对角，求第三边．题型二：余弦定理的应用例4．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc满足222bcabc且3a，则sinbB（）A．2B．3C．4D．23例5．（2023·河南·高三统考阶段练习）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若222sinsintansinsinsinBCABCA，则A（）A．3B．4C．6或56D．3或23例6．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinsinAB，且2221sincaC，则C（）A．6B．π4C．π3D．34变式6．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2223abc，则111tantantanABC（）A．0B．1C．2D．12变式7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角ABC，，的对边分别为abc，，，且coscossinsinBCAbcC，则b的值为（）A．1B．3C．32D．2【解题方法总结】（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值0,ABC0,ABC.0,ABC则为锐角三角形则为直角三角形则为钝角三角形题型三：判断三角形的形状例7．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在ABC中内角,,ABC的对边分别为,,abc，若22sincossincosaABbBA，则ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形例8．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos0cbA，则ABC形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形例9．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，若cos1cos2cos1cos2bCBcBC，则ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形变式8．（2023·全国·高三专题练习）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若222bcaca，且sin2sinAC，则ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形变式9．（2023·河南周口·高三校考阶段练习）已知ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc．若2sinsinsinsinsinAcAABbC，则该三角形的形状一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形变式10．（2023·全国·高三专题练习）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若22cossinsincos,aABbAB则ABC的形状为（）A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．锐角三角形变式11．（2023·北京·高三101中学校考阶段练习）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若22cossinsincosaABbAB，则ABC的形状为（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形【解题方法总结】（1）求最大角的余弦，判断ABC是锐角、直角还是钝角三角形．（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形．题型四：正、余弦定理与的综合例10．（2023·河南南阳·统考二模）锐角ABC是单位圆的内接三角形，角,,ABC的对边分别为,,abc，且22224cos2cosabcaAacB，则a等于（）A．2B．22C．3D．1例11．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，222sinsin2sin2sinabAabBabcBA.(1)求证：π03C；(2)若111tantantanBAC，求cosA.例12．（2023·重庆·统考三模）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin()tansinsinABCAB．(1)求222acb；(2)若2cos3B，求sinA．变式12．（2023·山东滨州·统考二模）已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2coscoscos212coscosBCAAABC．(1)若BC，求A；(2)求222bca的值．变式13．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，()(sinsin)(sinsin)acACbAB，则C（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6变式14．（2023·青海·校联考模拟预测）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若ABC的面积是22234bca，则A（）A．π3B．2π3C．π6D．5π6变式15．（2023·全国·校联考三模）已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，22223cossin22BBacac.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若222sin3sinsin4BAC，求cosB的值.变式16．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinsin2BCcaC(1)求角A的大小；(2)若1b，21sin7B，求边c及cos(2)BA的值．【解题方法总结】先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角