第04讲 解三角形（八大题型）（讲义）（解析版）

第04讲解三角形目录考点要求考题统计考情分析（1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形．（2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．（3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2023年I卷II卷第17题，10分2023年甲卷第16题，5分2023年乙卷第18题，12分2022年I卷II卷第18题，12分高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．知识点一：基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式==2sinsinsinCabcRAB2222cosabcbcA；2222cosBbcaac；2222cosCcabab．常见变形（1）2sinaRA，2sinBbR，2sinCcR；（2）sin2aAR，sinB2bR，sinC2cR；222cosA2bcabc；222cosB2cabac；222cosC2abcab．（2）面积公式：111sinsinsin222SABCabCbcAacB1()42abcSABCabcrR（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）知识点二：相关应用（1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin:sin:sinabcABC②大边对大角大角对大边sinsincoscosabABABAB③合分比：b2sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinBsinabcabbcacacRABCABBCACAC（2）ABC△内角和定理：ABC①sinsin()sincoscossinCABABABcoscoscaBbA同理有：coscosabCcB，coscosbcAaC．②coscos()coscossinAsinBCABAB；③斜三角形中，tantantantan()1tantanABCABABtantantanCtantantanCABAB④sin()cos22ABC；cos()sin22ABC⑤在ABC中，内角ABC，，成等差数列2,33BAC．知识点三：实际应用（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．（3）南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．【解题方法总结】1、方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式sinabAsinbAabababab解的个数一解两解一解一解无解2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,abc的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到ABC．3、三角形中的射影定理在ABC中，coscosabCcB；coscosbaCcA；coscoscbAaB．题型一：正弦定理的应用例1．（2023·福建龙岩·高三校联考期中）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若π5π4,,412aAC，则b（）A．23B．25C．26D．6【答案】C【解析】因为π5π,412AC，所以ππ3BAC，因为sinsinabAB，所以π34sin4sin3226πsin2sin42aBbA．故选：C.例2．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，设命题p：sinsinsinabcCAB，命题q：ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理可知abcsinAsinBsinC，若abcsinCsinAsinBt，则abctcab，即a＝tc，b＝ta，c＝bt，即abc＝t3abc，即t＝1，则a＝b＝c，即ABC是等边三角形，若ABC是等边三角形，则A＝B＝C3，则abcsinCsinAsinB1成立，即命题p是命题q的充要条件，故选：C.例3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinsincosABC且23c，π6A，则sinsincaCA（）A．83B．43C．8D．4【答案】D【解析】在ABC中，由sinsincosABC可得sinsincosBCBC，即sincos+cossinsincosBCBCBC所以cossin0BC，因为,0,πBC，所以sin0C，且cos0B，所以π2B，又π6A，可得π3C，由正弦定理可得234sinsinsin32cacCAC．故选：D.变式1．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若coscosaBbAc，且5C，则B（）A．10B．5C．310D．25【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得sincossincossinABBAC，即sincossincossinsincossincosABBAABABBA，整理可得sincos0BA，由于0,πB，故sin0B，据此可得πcos0,2AA，则ππ3πππ2510BAC.故选：C.变式2．（2023·河南郑州·高三郑州外国语中学校考阶段练习）a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边．已知4a，sinsinsinabACcB，则ABC外接圆的面积为（）A．16B．64πC．128D．256【答案】B【解析】因为sinsinsinabACcB，由正弦定理得4sinbcAbc，可得1sin4A．设ABC外接圆的半径为r，则2=16sinarA，即8r，故ABC外接圆的面积为64π．故选：B.变式3．（2023·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinsincos3aABbAa，则ba（）A．2B．3C．22D．23【答案】B【解析】由正弦定理得sinsinaBbA，化简得22sincos3bAbAba，则3ba，故选：B变式4．（2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若2ab，则2222sinsinsinBAA的值为（）A．12B．14C．1D．12【答案】A【解析】依题意12ba，由正弦定理得222222222sinsin2112121sin22BAbabAaa.故选：A变式5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos3cosbAaB，2a，则c＝（）A．4B．6C．22D．23【答案】D【解析】因为cos3cosbAaB，根据正弦定理得sincos3sinsincosBAAAB，移项得sincossincos3sinAAABA，即sin3sinABA，即sin3sinCA，则根据正弦定理有323ca．故选：D.【解题方法总结】（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；．sin1sinsin1AAA大角求小角一解（锐）两解－（一锐角、一钝角）小角求大角－一解－1（直角）无解－（3）两边一对角，求第三边．题型二：余弦定理的应用例4．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc满足222bcabc且3a，则sinbB（）A．2B．3C．4D．23【答案】A【解析】由题222bcabc，2221cos222bcabcAbcbc,又0A，3A，32sinsin32baBA，故选：A.例5．（2023·河南·高三统考阶段练习）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若222sinsintansinsinsinBCABCA，则A（）A．3B．4C．6或56D．3或23【答案】C【解析】由正弦定理，得222tanbcAbca，又2222cosbcabcA，所以sincos2cosAbcAbcA，所以1sin2A，因为(0,)A，所以6A或56，故选：C.例6．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinsinAB，且2221sincaC，则C（）A．6B．π4C．π3D．34【答案】D【解析】因为sinsinAB，由正弦定理有ab，根据余弦定理有222222cos22coscababCaaC，且2221sincaC，故有sincosCC，即tan1C，又0,πC，所以3π4C.故选：D.变式6．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2223abc，则111tantantanABC（）A．0B．1C．2D．12【答案】A【解析】由余弦定理以及2223abc可得：22cossin2cos2sinsincossinsinsinsinCCabCcABCCCAB，又在三角形中有sinsinABC，即sinsincoscossinABABAB，所以cossincoscossincoscossinsinsinsinsinCABABBACABBA故1110tantantanABC.故选：A．变式7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角ABC，，的对边分别为abc，，，且coscossinsinBCAbcC，则b的值为（）A．1B．3C．32D．2【答案】A【解析】因为coscossinsinBCAbcC，所以，由正弦定理与余弦定理得22222222acbabcaabcabcc，化简得1b.故选：A【解题方法总结】（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值0,ABC0,ABC.0,ABC则为锐角三角形则为直角三角形则为钝角三角形题型三：判断三角形的形状例7．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在ABC中内角,,ABC的对边分别为,,abc，若22sincossincosaABbBA，则ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理，余弦定理及22