第04讲 解三角形（练习）（解析版）

第04讲解三角形（模拟精练+真题演练）1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在ABC中，若2cosabC，则ABC一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形【答案】D【解析】由2cosabC及余弦定理得：22222222222abcabaabcbcab，即bc.故选：D2．（2023·四川南充·统考三模）在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，若222bacac，则B（）A．π3B．π6C．2π3D．5π6【答案】A【解析】由222bacac得222acacb，所以2221cos222acbacBacac，由于π0,π,3Bb,故选：A3．（2023·辽宁·校联考二模）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若5π6AB，3a，2c，则sinA（）A．45B．35C．34D．23【答案】C【解析】因为5π6AB，所以π6C，由sinsinacAC，得34sinA，所以3sin4A.故选：C.4．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）抚松县第一中学全体师生为庆祝2023年高考圆梦成功，选定大方鼎雕塑为吉祥物，为高考鼎立助威.若在,BC处分别测得雕塑最高点的仰角为30和20，且5BC，则该雕塑的高度约为（）（参考数据cos100.985）A．4.93B．5.076C．6.693D．7.177【答案】A【解析】在BCD△中，结合图形可知，10BDC，由正弦定理得：sin202cos1010cos109.85sin20sin10sin10BDBCBCBDBC，在Rt△ABD中，sin9.85sin304.93ADBDABD；故选：A5．（2023·广西·校联考模拟预测）在ABC中，若sin3sinCA，22bac，则cosB（）A．13B．14C．23D．34【答案】C【解析】因为sin3sinCA，由正弦定理可得3ca，且22bac，由余弦定理可得：2222222962cos263acbaaaBaca.故选：C．6．（2023·四川·校考模拟预测）如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高h（）A．cossin()sin()aB．sinsin()sin()aC．cossin()sin()aD．sinsin()sin()a【答案】D【解析】在PAB中，ππ,()()22PABBPA，由正弦定理得sin()sin()PBa，可得sin()sin()aPB，过点B作BDAQ，可得sinCQBDa所以sinsin()sinsinsin()aPQPCCQPBa.故选：D.7．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为222222142acbSac，若2sin2sinaCA，226acb，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为（）A．32B．3C．12D．1【答案】A【解析】由2sin2sinaCA得22,2acaac，由226acb得222622acbac，故22222221123442422acbSac，股癣：A8．（2023·全国·模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bc，4sincos1CB，则sinsinAB（）A．221310B．22135C．213310D．21335【答案】A【解析】由2bc及正弦定理，可得sin2sinBC．由4sincos1CB，可得cos14sinBC．又22sincos1BB，∴222sin14sin1CC．又sin0C，解得2sin5C，则23cos14055B，∴B为钝角，C为锐角．∴22221cos1sin155CC，2234sin1cos155BB．故421sinsinsincoscossin55ABCBCBC3242165525，∴4216sin2213254sin105AB．故选:A.9．（多选题）（2023·重庆·统考三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（）A．a，b，B．，，C．a，，D．，，b【答案】ACD【解析】法一、根据三角形全等的条件,,SASASAAAS可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形；法二、对于A项，由余弦定理可知2222coscabab，可求得c，即A正确；对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；对于C项，由正弦定理可知sinsinπsinsinπacac，即C正确；对于D项，同上由正弦定理得sinπsinbc，即D正确；故选：ACD.10．（多选题）（2023·山东聊城·统考一模）在ABC中，若AB，则（）A．sinsinABB．coscosABC．sin2sin2ABD．cos2cos2AB【答案】ABD【解析】在ABC中，若AB，由三角形中大边对大角，可得ab，又由正弦定理，可知sinsinAB，故A选项正确；又由余弦函数在0,π上单调递减，可知coscosAB，故B选项正确；由sin22sincos,AAA和sin22sincosBBB，当π2A时，cos0A，所以sin2sin2AB，故C选项错误；由2cos212sinAA，2cos212sinBB，由A选项可知正确，故D选项正确.故选：ABD11．（多选题）（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若222tan3acbBac，则B的值为（）A．6B．3C．56D．23【答案】BD【解析】根据余弦定理可知2222cosacbacB，代入222tan3acbBac，可得sin2cos3cosBacBacB，即3sin2B，因为0B，所以3B或23B，故选：BD.12．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，222bcabc，3a，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（）A．1B．3C．2D．3【答案】ABC【解析】由2221cos222bcabcAbcbc，及0A，得3A.若满足要求的△ABC有且只有1个，则sinabA或ab，即332b或3b，解得2b或03b.故选：ABC13．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若113sinsin,2tantansinBCcaCBCbcA，则ABC外接圆的面积为______.【答案】π【解析】由正弦定理得sinsinsinsin2BCCAC，因为sin0C，所以sinsin2BCA，即πsinsin2AA，可得cos2sincos222AAA.因为0,πA，所以sin0,cos02AA，得1sin22A，解得π3A.113tantansinBCbcA，化简得coscos3sinsinsinBCBCbcA，由正弦定理､余弦定理，得222222322acbabcacabbcabc，化简得3a，由正弦定理可得22sinarA，得1r，因此ABC外接圆的面积为π.故答案为：π14．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角ABC中，3AB，4cossin1AB，若BC在AB上的投影长等于ABC的外接圆半径R，则R=______.【答案】2【解析】由题意得，2sinBCRA，cosBCBR，即cos2sinBCBCBA，即2sincos1AB，因为4cossin1AB，所以113sinsinsincoscossin244CABABAB，故3243sin4ABRC，故2R.故答案为：215．（2023·上海嘉定·校考三模）在ABC中，已知sin2sin0bAaB，则角A的大小为__________.【答案】2π3【解析】因为sin2sin0bAaB，由正弦定理得sinsin2sinsin0BAAB，即2sinsincossinsin0BAAAB，又因为,0,πAB，所以sin,sin0AB，所以1cos2A，所以2π3A.故答案为：2π3.16．（2023·陕西西安·统考一模）在ABC中，5πsin2sincos,,36CBBCAb，则a___________.【答案】21【解析】因为sin2sincosCBBC，所以2coscbA，所以32332cbb，由余弦定理222cos39921abcbcA.故答案为：21.17．（2023·河南·校联考模拟预测）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，6coscos13cosBCBC.(1)若π6B，求cosC；(2)若3c，点D在BC边上，且AD平分83,7BACAD，求ABC的面积.【解析】（1）因为6coscos13cos3coscos3sinsinBCBCBCBC，则3coscos3sinsin3cos1BCBCBC，1cos3BC，又πABC，coscosπcosBCAA，则1cos3A，又0,πA，所以222sin1cos3AA，则223coscossinsincoscos6CABABAB.（2）由（1）知1cos3A，则1cos3cos223AA，由ABCADCADBSSS得111sinsinsin22222AAbcAbADcAD，即2sincossinsin2222AAAAbcbADcAD，则6cos32AbbAD，即832337bb，解得4b，所以ABC的面积122344223ABCS△.18．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数ππ2122cossin,4283Afxxxf.(1)求cosA；(2)若ABC的面积为102且sinsin22BC，求ABC的周长.【解析】（1）222122cossincos12sincos2cossin2cos222fxxxxxxxxxπ2sin24x，因为π2283Af，所以πππ22sin22sin2cos28423AAA，解得1cos3A；（2）在ABC中，由（1）可得222sin1cos3AA，∵1sin1022ABCSbcA△，即30bc，因为sinsin22BC，则sinsin23sin2223BCA，由正弦定理可得32bca即32bca，由余弦定理得222221982cos()2230343abcbcAbcbcbca