第四章 三角函数与解三角形（测试）（解析版）

第四章三角函数与解三角形（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知5sin25，则cos2（）A．35-B．35C．45D．45【答案】A【解析】由5sin25，知5cos5，则23cos22cos15.故选：A2．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若π6C，3a，4c，则sinA（）A．34B．58C．38D．12【答案】C【解析】由sinsinacAC，得38sinA，所以3sin8A．故选：C.3．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知角的终边与单位圆的交点为3,2Px，则cos2（）A．12B．12C．32D．32【答案】B【解析】由题得2314x，所以12x，所以112cos12或112cos12，所以211cos22cos12142.故选：B4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）将函数fx的图象上所有点向右平移π6个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数sinyx的图象，则fx在区间π0,4上的值域为（）A．3,12B．1,12C．1,12D．3,12【答案】C【解析】将sinyx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到sin2yx的图象，再将sin2yx图象上所有点向左平移π6个单位长度得到πsin23fxx的图象．当π0,4x时，ππ5π2,336x，π1sin2,132x．故选：C.5．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线100cmAC，100cmBC，180cmAB，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（）A．0.62B．0.56C．0.56D．0.62【答案】A【解析】如图所示，设弧AB对应圆心是O，根据题意可知，OAAC，OBBC，则πAOBACB，因为100AC，100BC，180AB，则在△ACB中，22222210010018031cos2210010050ACBCABACBACBC，所以31coscos(π)cos0.6250AOBACBACB.故选：A.6．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知tantan3，sin2sinsin，则tan（）A．4B．6C．32D．6【答案】D【解析】由sin2sinsin得sincoscossin11sincoscossin2sinsin22sinsintantan，进而可得tantan32tantantantan2，所以tantan3tan631tantan12=，故选：D7．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）若函数πcos3gxx在区间π3π,44上单调递减，则正数的取值范围为（）A．80,9B．58,33C．20,3D．8,3【答案】A【解析】根据函数ygx在区间π3π,44上单调递减，得2π3ππ2π44T，可得02，又由πππ5π3436，必有3πππ43，可得809.故选：A8．（2023·全国·高三专题练习）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示，PQ为街道路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，ABPQ，23ABC，C处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面AQ，喷射角3DCE.若3AB，6BC，则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为（）A．3B．23C．43D．53【答案】C【解析】C到地面的距离236sin632h，因为11sin223CDESDEhCDCEV，则362DECDCE，即43DECDCE，从而利用余弦定理得：2222cos23DECDCECDCECDCECDCECDCE，当且仅当CDCE时等式成立，故DE2CDCE，则43DE，当且仅当CDCE时等式成立，故DE的最小值为43.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数()sin()(0,0,||π)fxAxA的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．π3π()3sin44fxxB．ππ()3sin44fxxC．点(2023,0)是()fx的一个对称中心D．函数()fx的图象向左平移π4个单位得到的图象关于y轴对称【答案】AC【解析】由图可知312T，3A，所以8T，即2π8，解得π4，所以π3sin4fxx，又π13sin04f，所以ππ2π,Z4kk，解得5π2π,Z4kk，又||π，所以3π4φ=-，所以π3π3sin44fxx，故A正确，B错误；2023π3π20233sin3sin505π044f，所以点2023,0是()fx的一个对称中心，故C正确；将函数()fx的图象向左平移π4个单位得到2ππ3πππ3π3sin3sin4444164yxx，显然函数2ππ3π3sin4164yx不是偶函数，故D错误；故选：AC10．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考二模）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为,,,abc且60A，2b，31c，则下列说法正确的是（）A．75C或105CB．45BC．6aD．该三角形的面积为312【答案】BC【解析】由余弦定理得22212cos4423223162abcbcA，所以6a，由正弦定理得sinsinabAB，所以32sin22sin26bABa，由于0120B，所以45B，所以18075CBA，三角形ABC的面积为11333sin2312223bcA，故BC选项正确，AD选项错误.故选：BC.11．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点()1,0A，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点1P，1A，P，则下列说法正确的是（）A．11APAPB．扇形11OAP的面积为C．12sin2APD．当π3时，四边形11OAAP的面积为1πsin23【答案】ACD【解析】由题意圆的半径1r选项A：由题意得11cos,sincos,sinAP，，1,0cos,sinAP，所以2211coscossinsinAP+22coscos2sinsin22cos22cos1sinAP+22cos2cos1sin-+22cos所以11APAP，故A正确；选项B：因为11AOP，所以扇形11OAP的面积21122Sr，故B错误；选项C，212coscossinsinAP+112coscos2sinsin22cos22cos222cos2222212sin224sin2sin2sin222故C正确；选项D：11111OAAPAOAPOASSS1111sin11sin2211sinsin22因为π3，所以1111πsinsin223OAAPS11ππsinsincoscossin223313sincos44113sincos2221πsin23故D正确故选：ACD.12．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在△ABC中，已知a＝2b，且111tantansinABC，则（）A．a，c，b成等比数列B．sin:sin:sin2:1:2ABCC．若a＝4，则7ABCS△D．A，B，C成等差数列【答案】ABC【解析】因为111tantansinABC，所以sincoscossincoscossinsin1sinsinsinsinsinsinsinsinsinABABBABACABABABABC，即2sinsinsinCAB，即2cab.对选项A，因为2cab，所以a、c、b成等比数列，故A正确；对选项B，因为2ab，222cabb，即2cb，所以::2:1:2abc，即sin:sin:sin2:1:2ABC，故B正确；对选项C，若4a，则2b，22c，则222422252cos82224B，因为0πB，所以14sin8B.故114224728ABCS△，故C正确.对选项D，若A、B、C成等差数列，则2BAC.又因为πABC，则π3B.因为::2:1:2abc，设2ak，bk，2ck，0k，则22222521cos82222kkkBkk，故D错误.故选：ABC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是第三象限角，,2Px是终边上的一点，若5cos5x，则21sin2sin22cos______.【答案】12/0.5【解析】因为,2Px是终边上的一点，所以24OPx,则25cos54xxx解得1x，又因为是第三象限角，所以cos0即0x，从而=1x.所以525cos,sin55.从而221sin212sincossin22cos2sincos2cos2255125525552255512.故答案为：1214．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）计算：2sin20cos10sin10________．【答案】3【解析】原式132cos10sin10cos10222sin3010cos103s