重难点突破01 ω的取值范围与最值问题（六大题型）（解析版）

重难点突破01的取值范围与最值问题目录1、()sin()fxAx在()sin()fxAx区间()ab，内没有零点kbkkakTab2kbkaTab2同理，()sin()fxAx在区间[]ab，内没有零点kbkkakTab2kbkaTab22、()sin()fxAx在区间()ab，内有3个零点kbkkakTabT432(1)(3)(24)TbakTkakkb同理()sin()fxAx在区间[]ab，内有2个零点kbkkakTabT32232(2))2(332kTTbkakbak3、()sin()fxAx在区间()ab，内有n个零点(()(+1)1)(1)22nTnTbakkaknknb同理()sin()fxAx在区间[]ab，内有n个零点(1)(1()()22+1)nTnTbkkaknknba4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214nT，则21(21)42nnTba．5、已知单调区间(,)ab，则2Tab.题型一：零点问题例1．（2023·全国·高三专题练习）设函数1sin(0)2fxx，若对于任意实数，函数fx在区间0,2π上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（）A．41,3B．45,33C．5,23D．72,3【答案】C【解析】因为为任意实数，故函数()fx的图象可以任意平移，从而研究函数fx在区间0,2π上的零点问题，即研究函数1sin2yx在任意一个长度为2π02π的区间上的零点问题，令1sin2yx0，得1sin2x，则它在y轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6，5π6，13π6，17π6，25π6，L，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3，4π3，2π3，4π3，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3，相邻五个零点之间的距离为4π，所以要使函数fx在区间0,2π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于2π，相邻五个零点之间的距离大于2π，即10π2π34π2π，解得523.故选：C例2．（2023·全国·高一专题练习）设函数()2sin1(0)fxx，在区间3,44上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（）A．2610,93B．2658,99C．3458,99D．26103458,,9399【答案】D【解析】函数2sin1(0)fxx，在区间3,44上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即1sin2x在区间3,44上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，3,44x，如图：①当46，则5317646，得无解；②当5646，则13325646，求得261093；③当513646时，则17329646，求得345899；④当1346时，区间3,44长度213443超过了正弦函数的两个最小正周期长度，故方程1sin2x在区间3,44上至少有4个根，不满足题意；综上，可得261093或345899；故选：D.例3．（2023·河北·高二统考学业考试）设函数()2sin10fxx，若对于任意实数，()fx在区间3,44上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）A．816,33B．164,3C．204,3D．820,33【答案】B【解析】令()0fx，则1sin2x令tx，则1sin2t=则问题转化为sinyt在区间3,44上至少有两个，至少有三个t，使得1sin2t=，求的取值范围.作出sinyt和12y的图像，观察交点个数，可知使得1sin2t=的最短区间长度为2π，最长长度为223，由题意列不等式的：3222443解得：1643.故选：B变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx的图象是由2sin3yx（0）的图象向右平移3个单位得到的，若fx在,2上仅有一个零点，则的取值范围是（）．A．50,2B．13，C．51,2D．1,4【答案】C【解析】由题知，函数π2sin03yx在π2π,63上仅有一个零点，所以2π2πππ362T，所以04，令π2sin03x，得ππ3xk，即ππ,3kxkZ.若第一个正零点ππ2ππ336x，则4（矛盾），因为函数π2sin3yx在π2π,63上仅有一个零点，所以π2π2π6332ππ2π33，解得512.故选：C.变式2．（2023·全国·高三专题练习）记函数sin0,02fxx的最小正周期为T.若32fT，6x为fx的零点，则的最小值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】因为sin0,02fxx的最小正周期为2T，且32fT，所以23sinsin2，因为02，所以3，所以sin3fxx，因为6x为fx的零点，所以sin0663f，所以,Z63kk，解得62,Zkk，因为0，所以的最小值为4，故选：C变式3．（2023·全国·模拟预测）若函数2sin13,cos2cos33,cos2xxxfxxx0在0,4π上有3个零点，则的取值范围是（）A．13,24B．1325,2424C．31,24D．3143,2424【答案】D【解析】令0fx，则当3cos2x时，2sin10cos3xx，即1sin2x，当3cos2x时，0x，矛盾，所以1sin2x，且3cos2x，又22sincos1xx，所以1sin2x，且3cos2x，所以5π2πZ6xkk．所以12π5πZ6kxk，因为0，所以函数fx的正零点从小到大依次为：7π6，19π6，31π6，43π,6，因为函数fx在0,4π上有3个零点，所以31π43π466所以31432424．故选：D．题型二：单调问题例4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数πsin03fxx的图象关于点π,06对称，且fx在5π0,48上单调，则的取值集合为（）A．2B．8C．2,8D．2,8,14【答案】C【解析】fx关于点π,06对称，所以ππsin063，所以πππ,62,Z63kkk①；5πππ5ππ0,4833483xx，而fx在5π0,48上单调，所以5πππ4832，08②；由①②得的取值集合为2,8.故选：C例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数πsin0,2fxx，π8x是函数fx的一个零点，π8x是函数fx的一条对称轴，若fx在区间ππ,54上单调，则的最大值是（）A．14B．16C．18D．20【答案】A【解析】设函数fx的最小正周期为T，因为π8x是函数fx的一个零点，π8x是函数fx的一条对称轴，则21πππ4884nT，其中Nn，所以，π2π21Tn，42n，因为函数fx在区间ππ,54上单调，则πππ452T，所以，20.所以，的可能取值有：2、6、10、14、18.（i）当18时，sin18fxx，π9πsin084f，所以，9ππZ4kk，则9ππZ4kk，ππ22，π4，所以，πsin184fxx，当ππ54x时，3π77ππ19π3π4π18+=4π+2020444x，所以，函数fx在ππ,54上不单调，不合乎题意；（ii）当14时，sin14fxx，π7πsin084f，所以，7ππZ4kk，则7ππZ4kk，ππ22，π4，所以，πsin144fxx，当ππ54x时，11π51ππ13π5π2π14=2π+2020444x，所以，函数fx在ππ,54上单调递减，合乎题意.因此，的最大值为14.故选：A.例6．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线π4x是曲线πsin(0)4yx的一条对称轴，且函数πsin()4yx在区间[0，π12]上不单调，则的最小值为（）A．9B．7C．11D．3【答案】C【解析】因直线π4x是曲线πsin(0)4yx的一条对称轴，则πππ,N442kk，即43,Nkk，由πππ242x得π3π44x，则函数πsin()4yx在π3π[,]44上单调递增，而函数πsin()4yx在区间π[0,]12上不单调，则3π412，解得9，所以的最小值为11.故选：C变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数sin0fxx的一个对称中心为,03，fx在区间5,6上不单调，则的最小正整数值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由函数sin0fxx的一个对称中心为,03，可得()sin()033f，所以13k，1kZ，13k，1kZ，cosfxx，由fx在区间5,6上不单调，所以