重难点突破03 三角形中的范围与最值问题（十七大题型）（原卷版）

重难点突破03三角形中的范围与最值问题目录1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：（1）求角的最值；（2）求边和周长的最值及范围；（3）求面积的最值和范围．题型一：周长问题例1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222coscosabcaBbAabc．(1)求C；(2)若ABC为锐角三角形，2c，求ABC周长范围．例2．（2023·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，23a，(2)coscosbcAaC，（1）求角A；（2）求△ABC的周长l的范围.例3．（2023·全国·高三专题练习）在①23SABAC；②22cos1cos22BCA；③3sincoscaCcA；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在锐角ABC中，内角A、B、C，的对边分别是a、b、c，且______(1)求角A的大小；(2)若3a，求ABC周长的范围．变式1．（2023·全国·模拟预测）在锐角ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且coscoscbaBbA.(1)求角A的大小；(2)若1a，求ABC周长的范围.变式2．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2a，cos2cosaBcbA．(1)求角A的大小；(2)求ABC周长的范围．题型二：面积问题例4．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin,3mx，cos,cos2nxx，fxmn，0fBC．(1)求角A的值；(2)若1b，求ABC面积的范围．例5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形ABCD内种植了两种花卉，其中ABD△区域内种植兰花，BCD△区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界60mAB，20mBC，40mADCD．（1）求观赏小道BD的长及种植区域ABCD的面积；（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形PBCD）的面积最大，并求出这个面积的最大值．例6．（2023·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：2224Sbca，且______，求△ABC的面积的值（或最大值）．变式3．（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO，其中3kmOA，33kmOB，90AOB．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N均不与AB重合，M在A，N之间），且30MON．(1)若M在距离A点1km处，求点M，N之间的距离；(2)设BON，①求出OMN的面积S关于的表达式；②为节省投入资金，三角形人工湖OMN的面积要尽可能小，试确定的值，使OMN得面积最小，并求出这个最小面积．变式4．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，3,32ABCSBABCBC．（1）D为线段BC上一点，且2,1CDBDAD，求AC长度；（2）若ABC为锐角三角形，求ABC面积的范围．变式5．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3cosaBbA.（1）若25a，2b，求c的大小；（2）若2b，且C是钝角，求ABC面积的大小范围.题型三：长度问题例7．（2023·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角ABC内角ABC，，的对边分别为abc，，.若sinsinsinbBcCbaA.(1)求C；(2)若3c，求ab的范围.例8．（2023·福建莆田·高三校考期中）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，23b，222sin2sinBcaCbcab(1)求角B﹔(2)求2ac的范围．例9．（2023·重庆江北·高三校考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，且22coscos22CAac3()2acbac.（1）求角B的大小；（2）若23b，(0)cxx，当ABC仅有一解时，写出x的范围，并求ac的取值范围.变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；4a，222sinsinsinsinsinABCBC．（I）求角A的值；（Ⅱ）求2bc的范围．变式7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边()()3abcabcab.（1）求角C的值；（2）若2c，且ABC为锐角三角形，求2ab的范围.变式8．（2023·山西运城·统考模拟预测）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）求证：sin()sinsinABabABc；（2）若ABC是锐角三角形，,23ABab，求c的范围.变式9．（2023·安徽亳州·高三统考期末）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sincos6aCcA.（1）求角A的大小；（2）设H为ABC的垂心，且1AH，求BHCH的范围.题型四：转化为角范围问题例10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()(sinsin)()sinabABcbC.(1)求A；(2)求coscosBC的取值范围.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且coscosabcBA．(1)判断ABC的形状并给出证明；(2)若ab¹，求sinsinsinABC的取值范围．例12．（2023·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知1sin1cos2cossin2ABAB．(1)判断ABC的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；(2)求22245abc的最小值．变式10．（2023·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ABACBABCCACB；(1)若coscosABba，判断ABC的形状并说明理由；(2)若ABC是锐角三角形，求cosC的取值范围.变式11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知1,2ab.(1)若π4B，求角A的大小；(2)求πcoscos6AA的取值范围.变式12．（2023·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别是,,abc，2222sin()6bcabcA．（1）求角A的大小；（2）求sinsinBC的取值范围．变式13．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若220cbca，则2114sincostantanCCCA的取值范围为（）A．42,9B．8,9C．834,93D．234,9题型五：倍角问题例13．（2023·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosbcaB．(1)证明：2AB；(2)若1b，求a的取值范围；(3)若ABC的三边边长为连续的正整数，求ABC的面积．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2AB，且A为锐角，则1coscbA的最小值为（）A．221B．3C．222D．4例15．（2023·全国·高三专题练习）锐角ABC的角ABC，，所对的边为abc，，，2AB，则ab的范围是_________．变式14．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为5，若222sinSACba，则tanA的取值范围为______．变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2AB，则22acbab的取值范围为__________．变式16．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中2AB，B，C的对边长分别是b，c，则bbc的取值范围是（）A．11,43B．11,32C．12,23D．23,34变式17．（2023·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习）在锐角ABC中，2AB，B，C的对边分别是b，c，则2bcb的范围是（）A．31,2B．41,3C．43,32D．1,22变式18．（2023·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，若A＝2B，则22cbba的最小值为（）A．－1B．73C．3D．103题型六：角平分线问题例16．（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，sin3cossin3cosaBBbAA且AB.(1)求角C的大小；(2)若角C的平分线交AB于点D，且23CD，求2ab的最小值.例17．（2023·江苏淮安·高一统考期中）如图，ABC中，2ABAC，BAC的平分线AD交BC于D．(1)若ADBC，求BAC的余弦值；(2)若3AC，求AD的取值范围．例18．（2023·浙江杭州·高一校联考期中）在①cos3sinaaCcA，②3abcabcab，③sinsinsinabBCbBcC．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．(1)求角C的值；(2)若角C的平分线交AB于点D，且23CD，求2ab的最小值．变式19．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且cos2cos0aCbcA，角A的平分线与边BC交于点D.(1)求角A；(2)若2AD，求4bc的最小值.变式20．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，满足222sinsinsin1sinsinAACCB，且AC¹．(1)求证：2BC；(2)已知BD是ABC的平分线，若6a，求线段BD长度的取值范围．变式21．（2023·全国·高一专题练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2sinc