第04讲 基本不等式（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第04讲基本不等式（精讲）题型目录一览①直接法求最值②常规凑配法求最值③消参法求最值④“1”的代换求最值⑤基本不等式及其应用⑥利用基本不等式解决实际问题⑦利用基本不等式证明1.基本不等式如果00ba，，那么2baab，当且仅当ba时，等号成立．其中，2ba叫作ba，的算术平均数，ab叫作ba，的几何平均数．即正数ba，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若ab，R，则abba222，当且仅当ba时取等号；基本不等式2：若ab，R，则abba2（或abba2），当且仅当ba时取等号.注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.（1）几个重要的不等式①20,00,0.aaRaaaaR②基本不等式：如果,abR，则2abab(当且仅当“ab”时取“”).特例：10,2;2abaaaba（,ab同号）.一、知识点梳理（2）其他变形：①2222abab(沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式)②222abab(沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式)③22abab(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)④重要不等式串：222,1122ababababRab即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知,xyR.（1）如果xyS(定值)，则2224xySxy(当且仅当“xy”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xyP(定值)，则22xyxyP(当且仅当“xy”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：)0,0(2nmmnxnmx，当且仅当mnx时等号成立；模型二：)0,0(2)(nmmamnmaaxnaxmaxnmx，当且仅当mnax时等号成立；模型三：)0,0(2112cabacxcbaxcbxaxx，当且仅当acx时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnxnmmnmxnmxmmmxnmxmxnx（，当且仅当mnx2时等号成立.题型一直接法求最值策略方法直接利用基本不等式求解，注意取等条件【典例1】下列不等式一定成立的是（）A．212(0)xxxB．1sin2,ZsinxxkkxC．211R1xxD．12(0)ttt【答案】D【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答.【详解】对于A，当1x时，212xx，A不正确；对于B，当,Zxkk时，1sin1x，且sin0x，若1sin0x，则1sin0sinxx，B不正确；对于C，2R,11xx，则21011x，即C不正确；对于D，当0t时，由均值不等式得12tt成立，当且仅当1t时取等号，则D正确.故选：D【题型训练】一、单选题1．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）A．224yxxB．4sinsinyxxC．2y22xxD．4lnlnyxx【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,BD不符合题意，C符合题意．二、题型分类精讲【详解】对于A，2224133yxxx，当且仅当=1x时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0sin1x，4sin244sinyxx，当且仅当sin2x时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而20x，242222442xxxxy，当且仅当22x，即1x时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，4lnlnyxx，函数定义域为0,11,，而lnxR且ln0x，如当ln1x，5y，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．2．（2021·全国·统考高考真题）已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF即可得到答案．【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等号成立）．故选：C．【点睛】3．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）下列不等式一定成立的是（）A．2lg4lg4(0)xxxB．1sin2,sinxxkkZxC．212xxxRD．2111xxR【答案】C【分析】由对数的运算性质对A进行化简，对B由基本不等式成立的条件即可判断，对C化成完全平方即可判断，对D由分式的运算即可求得.【详解】对于A：22411lg4-lg4lglglg1044xxxxxx，当114xx，2x时取等号，即2lg4lg4(0)xxx，故A错误；对于B：当sinx为负数时，1sin2,sinxxkkZx不成立，故B错误；对于C：222110xxx，即212xxxR，故C正确；对于D：2221011011xxx，故D错误.故选：C.4．（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以直接完成的无字证明为（）A．222(00)ababab，B．(00)2ababab，C．22(00)22ababab，D．2(00)abababab，【答案】C【分析】由图形可知用a、b表示出OF、OC，在RtOCF中由勾股定理可求CF，根据OFCF即可得出结论．【详解】由图形可知：122abOFAB，2abOC．在RtOCF中，由勾股定理可得：2222222abababCF．CFOF，2222abab．(0)ab，．故选：C．5．（2023·陕西宝鸡·统考二模）设a，Rb，则“2ab”是“222ab”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】若2ab，则22222abab成立，当且仅当1ab时取等，若222ab，不妨设1ab，则2ab不成立，所以“2ab”是“222ab”的充分不必要条件.故选：C.二、填空题6．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知正数a，b满足496ab，则ab的最大值为__________．【答案】14【分析】根据题意，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】因为64923612ababab，所以12ab≤，从而14ab，当且仅当34a，13b时，等号成立．故答案为:147．（2023·高三课时练习）已知002abab，，，有下列不等式：①24ab；②228ab；③112ab；④22ab；⑤3342ab．其中，恒成立的是______．（写出所有满足要求的不等式序号）【答案】①③⑤【分析】利用基本不等式对5个式子一一判断.【详解】因为002abab，，，所以利用基本不等式：对于①：2224abab（当且仅当22abab，即21ab时等号成立）.故①正确；对于②：2224abab（当且仅当2ab时等号成立）.故②错误；对于③：111122abab（当且仅当2ab时等号成立）.故③正确；对于④：222abab（当且仅当2ab时等号成立）.故④错误；对于⑤：3333322242abab（当且仅当2ab时等号成立）.故⑤正确.故答案为：①③⑤题型二常规凑配法求最值策略方法1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．【典例1】若104x，则(14)xx取最大值时x的值是（）A．14B．16C．18D．10【答案】C【分析】由基本不等式求得最大值．【详解】104x，则140x，所以2114141(14)4(14)()44216xxxxxx，当且仅当414xx即18x=时等号成立.故选：C．【典例2】已知实数x满足102x，则1821yxx的最大值为（）A．4B．0C．4D．8【答案】B【分析】由已知得到0121x，对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值.【详解】由102x得到1210x，则0121x，11184(21)4[4(12)]4212112yxxxxxx124(12)4012xx，当且仅当14x上式取等号，则1821yxx的最大值为0.故选：B.【典例3】当0x时，函数231xxyx的最小值为（）A．23B．231C．231D．4【答案】B【分析】使用变量分离，将231xxyx化为233311111xxyxxxxx，使用基本不等式解决.【详解】因为0x，所以23333112112311111xxyxxxxxxx，当且仅当311xx，即31x时，等号成立．故选：B．【题型训练】一、单选题1．（江西省赣州市十六县市二十校2023届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知正数a，b满足412ab，则ab的最大值为（）A．3B．6C．9D．12【答案】C【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答.【详解】a，b为正数，412ab，则221141·4694424ababab，当且仅当46ab时取等号，所以当36,2ab时，ab取得最大值9.故选：C2．已知102x，则函数(12)yxx的最大值是（）A．12B．14C．18D．19【答案】C【分析】将(12)yxx化为12(12)2xx，利用基本不等式即可求得答案.【详解】∵102x，120x,∴1(12)2(12)2xxxx22(12)112[]28xx，当且仅当212xx时，即14x时等号成立，因此，函数(12)yxx,1(0)2x的最大值为18,故选：C．3．已知02x，则24yxx的最大值为（）A．2B．4C．5D．6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可【详解】因为02x，所以可得240x，则2222244422xxyxxxx，当且仅当224xx，即2x时，上式取得等号，24yxx的最大值为2．故选：A．4．函数2614(1)1xxyxx的最小值是（）A．10B．12C．13D．14【答案】A【