第04练 基本不等式（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第04练基本不等式（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）函数2294yxx的最小值是（）A．7B．9C．12D．9【答案】C【分析】已知函数2294yxx，且20x，符合基本不等式的条件，根据基本不等式即可求和的最小值.【详解】因为2294yxx，所以|0xx，所以20x，所以22229942412yxxxx，当且仅当2294xx，即62x时取等号，所以min12y，故选：C.2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知1x，则41yxx取得最小值时x的值为（）A．3B．2C．4D．5【答案】A【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解.【详解】1,10xx，则444112115111yxxxxxx，当且仅当411xx，即3x时等号成立.故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）已知0x，则12xx有（）A．最大值0B．最小值0C．最大值－4D．最小值－4【答案】C【分析】利用均值不等式求解即可.【详解】因为0x，所以0x，1122xxxx，当且仅当1xx，即=1x时等号成立，所以12xx，124xx，即12xx有最大值4，故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）已知na是各项均为正数的等差数列，且6710220aaa，则78aa的最大值为（）A．10B．20C．25D．50【答案】C【分析】根据等差数列的性质，化简原式，得到7810aa，用基本不等式求最值.【详解】∵6710610787222220aaaaaaaa，∴7810aa，由已知，得70a，80a∴227878102522aaaa，当且仅当785aa时等号成立.故选：C.5．（2023·全国·高三专题练习）已知1x，则231xx的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】A【分析】将原式整理为2341211xxxx，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】因为1x，所以10x，2212143441222161111xxxxxxxxx，当且仅的411xx，即3x时等号成立.故选：A.6．（2023·全国·高三专题练习）已知0x，0y，282xy，则113xy的最小值是（）A．2B．22C．4D．23【答案】C【分析】首先根据已知条件得到31xy，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为33282222xyxyxy，所以31xy，因为0x，0y，所以111133322243333xyxyxyxyxyyxyx.当且仅当33xyyx，即12x，16y时等号成立.故选：C7．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知14a，12b，且22ab，则114121ab的最小值是（）A．1B．43C．2D．52【答案】C【分析】由22ab得41212ab，巧用常数的关系即可求解.【详解】因为22ab，所以41212ab，则111111214141212241212412124121baabababab，当且仅当2141=4121baab，即12a，1b时，等号成立.故选：C.二、多选题8．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）已知第一象限内的点(,)Pab在直线10xy上，则（）A．12322abB．2212abC．lnln2ln2abD．122ab【答案】AD【分析】首先根据题意得到1ab，且0a，0b，再利用基本不等式和二次函数的性质依次判断选项即可.【详解】依题意，有1ab，且0a，0b.对选项A，因此12122()3322baabababab，当且仅当21a，22b时，等号成立.故选项A正确；对选项B，22222211(1)221222abaaaaa.因为01a，所以21112222a，故选项B错误；对选项C，因为2()144abab，所以1lnlnln()ln2ln24abab，故选项C错误，对选项D，2ab(1)21112222aaa，故选项D正确.故选：AD9．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若0,0ab，则下面结论正确的是（）A．若ab，则11abB．若144ab，则ab有最小值94C．若22abb，则4abD．若2ab，则ab有最大值1【答案】ABD【分析】利用不等式性质判断A；利用“1”的妙用计算判断B；确定b的取值范围，求出ab范围作答；利用均值不等式计算判断D作答.【详解】对于A，0ab，则ababab，即11ab，A正确；对于B，0,0ab，144ab，则11414149()()(5)(52)4444babaababababab，当且仅当4baab，即322ba时取等号，B正确；对于C，0,0ab，由22abb得：20abb，有02b，则22abb，C不正确；对于D，0,0ab，2ab，则2()12abab，当且仅当1ab时取等号，D正确.故选：ABD10．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）若,0,ab，则下列选项中成立的是（）A．69aaB．若3abab，则9abC．2243aa的最小值为1D．若2ab，则12ab的最小值为22【答案】AB【分析】根据基本不等式，求解判断各个选项即可.【详解】由基本不等式可得，当06a时，有26692aaaa，当且仅当6aa,即3a时，等号成立；当6a时，60aa，所以A项正确；因为,0,ab，则2abab，当且仅当ab时等号成立，则323ababab，即2230abab，令0tab，则2230tt，解得3t或1t（舍去），所以3ab，所以9ab，B项正确；因为,0,ab，所以2222443333aaaa22423313aa，当且仅当22433aa，a无解，所以该式取不到1，C项错误；因为,0,ab，所以121122ababab121233232222babaabab，当且仅当2baab，且2ab，即222a，422b时，等号成立，D项错误.故选：AB.三、填空题(共0分11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体1111ABCDABCD中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且1EFAE．若2AB，1AD，13AA，则1BF的最小值为__________．【答案】2【分析】建立空间直角坐标系，设(2,0,)Em，(0,1,)Fn，0m，0n，表示出1AE，EF，根据垂直得到10AEEF，即可得到21mnm，再分0m和0m两种情况讨论，最后利用基本不等式计算可得．【详解】解：以点1C为坐标原点，11CD，11CB，1CC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系1Cxyz，则1(2,1,0)A，设(2,0,)Em，(0,1,)Fn，30m，30n，则1(0,1,)AEm，(2,1,)EFnm．因为1EFAE，所以10AEEF，即1()0mnm，化简得21mnm．当0m时，显然不符合题意当0m时1122nmmmm，当且仅当1mm，即1m时等号成立．故1BF的最小值为2．故答案为：212．（2023·全国·高三专题练习）函数233()=21xfxxx在(1,)上的最大值为_______________．【答案】37【分析】令1xt，则0t，则3223fttt，利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为233()=21xfxxx，(1,)x，令1xt，则0t，则223333322(1)(1)12327223223ttfttttttttt，当且仅当22tt，1t即2x时，等号成立．故()fx的最大值为37．故答案为：3713．（2023·全国·高三专题练习）已知03a，则143aa的最小值是______．【答案】3【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于03a，30a，所以033a，141143333aaaaaa13413455233333aaaaaaaa，当且仅当34,32,13aaaaaaa时等号成立.故答案为：314．（2023·上海·统考模拟预测）已知正实数a、b满足41ab，则ab的最大值为_______________．【答案】116【分析】由21144442ababab，代入即可得出答案.【详解】211411144424416ababab，当且仅当“4ab”，即11,28ab时取等，所以ab的最大值为116.故答案为：116【B组在综合中考查能力】一、单选题1．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知0x，0y，且26xyxy，则2xy的最小值为（）．A．4B．6C．8D．12【答案】A【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.【详解】解：已知00xy，，且xy+2x+y=6，y=621xx2x+y=2x+621xx=2(x+1)8441x，当且仅当821,11xxx时取等号，故2x+y的最小值为4.故选:A2．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数,,abc满足,,bcacababc成等差数列，则2222acb的最小值为（）A．22B．322C．3D．322【答案】B【分析】根据,,bcacababc成等差数列，可将b用,ac表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.【详解】因为,,bcacababc成等差数列，所以222bacacabbcbcaac，所以222222acbac，则22222244222222222222222232222acaacacaccaccacbaccaa222222223332222222acaccaca，当且仅当22222acca，即222ac时，取等号，所以2222acb的最小值为322.故选：B.3．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知圆22114xy关于直线400,0axbyab对称，则122ab的最小值为（）A．12B．98C．32D．2【答案】B【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求