第05练 一元二次不等式及其应用（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第05讲一元二次不等式及其应用（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题1．（河南省部分学校大联考2022-2023学年高三下学期3月质量检测理科数学试题）已知全集29100UxxxZ∣，集合180,1,2,4,5,7,8AxxxBZ∣，则集合0,3,6,9为（）A．(𝐶𝑈𝐴)∩𝐵B．(𝐶𝑈𝐵)∩𝐴C．𝐶𝑈(𝐴∪𝐵)D．𝐶𝑈(𝐴∩𝐵)【答案】D【分析】计算出,UA，从而根据交集，并集和补集概念计算出四个选项，得到正确答案.【详解】由题意知{110}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9UxxZ∣，181,2,3,4,5,6,7,8AxxZ∣，A选项，0,91,2,4,5,7,8UABð，A错误；B选项，1,2,3,4,5,6,7,80,3,6,93,6UAB∩∩ð，B错误；C选项，1,2,3,4,5,6,7,8AB，故0,9UABð，C错误；所以1,2,4,5,7,8,0,3,6,9UABABð.故选：D.2．（江西省宜春市2023届高三一模数学（理）试题）设集合2{|32}Axyxx==-+-，2{|log(1)1}Bxx，则AB（）A．|12xxB．|23xxC．{|12}xxD．{|23}xx【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合A，解对数不等式求集合B，应用集合交运算求结果.【详解】由232(1)(2)0xxxx，可得12x，故{|12}Axx，由{|012}{|13}Bxxxx，所以{|12}ABxx.故选：C3．（华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题）若集合210Axxaxa，集合11Bxx，满足12ABxx的实数a的取值范围是（）A．3aB．3aC．3aD．3a【答案】D【分析】解不等式可求得集合B，根据交集结果可确定集合A，由此可构造不等式求得结果.【详解】由11x得：111x，解得：02x，即0,2B；由210xaxa得：110xax，12ABxx，11Axxa，12a，解得：3a.故选：D.4．设一元二次不等式210axbx的解集为{|12}xx，则ab的值为（）A．1B．14C．14D．12【答案】B【分析】根据1和2是方程210axbx的两个根，由韦达定理解得a和b，可得结果.【详解】由题意可知方程210axbx的根为1,2，由韦达定理得：12ba，112a，解得11,22ba，所以14ab.故选：B.5．（河北省承德市双滦区实验中学2023届高三上学期10月数学试题）已知集合3112xAxx，集合2220Bxxaxa，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围（）A．1,2B．1,2C．1,22D．1,22【答案】A【分析】解分式不等式可求得集合A；根据充分不必要条件的定义可知AB；解一元二次不等式，分别讨论2a，2a和2a的情况，根据包含关系可求得结果.【详解】由3112xx得：31211022xxxx，212020xxx，解得：122x，1,22A；由2220xaxa得：20xxa；“xA”是“xB”的充分不必要条件，AB，当2a时，2,Ba，不满足AB；当2a时，B，不满足AB；当2a时，,2Ba，若AB，则需12a；综上所述：实数a的取值范围为1,2.故选：A.6．若不等式20axxc的解集为1{|1}2xx，则函数2ycxxa的图象可以为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题可得1和12是方程20axxc的两个根，求出,ac，再根据二次函数的性质即可得出.【详解】由题可得1和12是方程20axxc的两个根，且a0，1112112aca，解得2,1ac，则22221ycxxaxxxx，则函数图象开口向下，与x轴交于2,01,0，.故选：C.二、多选题7．已知关于x的不等式20axbxc的解集为(,2)(3,)，则（）A．0aB．不等式0bxc的解集是|6xxC．0abcD．不等式20cxbxa的解集为11(,)(,)32【答案】ABD【分析】根据不等式20axbxc的解集判断出0a，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.【详解】关于x的不等式20axbxc的解集为,23,,0,Aa选项正确；且－2和3是关于x的方程20axbxc的两根，由韦达定理得2323baca，则,6baca，则60abca，C选项错误；不等式0bxc即为60axa，解得6,Bx选项正确；不等式20cxbxa即为260axaxa，即2610xx，解得13x或1,D2x选项正确.故选：ABD.8．已知关于x的一元二次不等式22120axax，其中a0，则该不等式的解集可能是（）A．B．12,aC．1,2,aD．1,2a【答案】ABD【分析】不等式变形后，确定相应二次方程的根有大小得不等式解集．【详解】不等式变形为(2)(1)0xax，又a0，所以1(2)()0xxa，12a时，不等式解集为空集；12a，12xa，102a时，12xa，因此解集可能为ABD．故选：ABD．三、填空题9．不等式210xx的解集为__________________.【答案】[2,1][2,)【分析】分类讨论1x和1x，即可求出结果.【详解】因为210xx，所以当1x时，2x，所以2x；当1x时，2x，所以21x.所以原不等式的解集为|212xxx或.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，属于基础题型.10．不等式210axxca的解集为{|21}xx，则函数2yaxcx的单调递增区间是_______【答案】[0,1]【解析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出a，c的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间.【详解】由题知-2和1是210axxca的两根，由根与系数的关系知-2+1=21a，−2×1＝ca，由不等式的解集为{|21}xx，可知a0，12ac，，则222yaxcxxx，因为函数22yxx的定义域为0,2x，令22gxxx则该函数的增区间为,1所以22yxx的增区间为0,1故答案为：0,1.11．若关于x的不等式210mxmx的解集不是空集，则m的取值范围是________.【答案】0m或4m【分析】分别讨论=0m和0m，利用不等式210mxmx的解集不是空集，解出m的取值范围.【详解】解：若=0m，则原不等式等价为10，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即0m.若0m，要使不等式210mxmx的解集不是空集，则①若0m，有240mm，解得4m.②若0m，则满足条件.综上所述，满足条件的m的取值范围是0m或4m.故答案为：0m或4m.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的基本解法，属于基础题.12．若1x和2x分别是一元二次方程22530xx的两根，则1211xx的是_____________.【答案】53【分析】由韦达定理得1252xx，1x232x，12121211xxxxxx进而求解．【详解】解：由韦达定理：1252xx，1x232x，12121251152332xxxxxx.故答案为：53.【点睛】本题考查韦达定理，两根只差与两根之和、两根之积的关系．四、解答题13．集合1121xAxx，22240Bxxaxa.(1)若23,4,23Caa，0BC，求实数a的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围.条件：①ABA；②RABð；③RBARð.【答案】(1)1；(2)条件选择见解析，502a.【分析】（1）利用元素与集合的关系，可以确定0C且0B，求解即可；（2）任选其中一个条件，根据集合间的关系，列式求解即可.（1）解：因为0BC，所以0C，所以2230aa，解得：1a或3a.且0B，所以2202040aa得22a；∴实数a的值为1.（2）解：集合21101221212xxAxxxxxx.集合2224022Bxxaxaxaxa.若选择①ABA，即22501222aABaa若选择②12502222RaABaað，若选择③RBARð，则22501222aaa.14．（1）已知1x，求141xx的最小值．（2）求关于x的不等式的解集：2(21)20()axaxaR．【答案】（1）8；（2）0a时，解集为(2,)；0a时，解集为12,a；12a时，解集为{2}xx∣；12a时，解集为1(,2),a；102a时，解集为1,(2,)a．【分析】（1）整理可得1144(1)411xxxx，结合基本不等式分析计算；（2）不等式分类讨论问题，结合本题，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小．【详解】解：（1）因为1x，所以10x，所以11144(1)424(1)48111xxxxxx，当且仅当14(1)1xx，即32x时等号成立，所以141xx的最小值为8．（2）2(21)20axax，当0a时，不等式为20x，解集为(2,)，0a时，不等式分解因式可得(1)(2)0axx，当0a时，故1(2)0xxa，此时解集为12,a．当12a时，11(2)02xx，故此时解集为{2}xx∣，当12a时，(1)(2)0axx可化为1(2)0xxa，又12a，解集为1(,2),a．当102a时，(1)(2)0axx可化为1(2)0xxa，又12a，解集为1,(2,)a，综上所述：0a时，解集为(2,)，0a时，解集为12,a，12a时，解集为{2}xx∣，12a时，解集为1(,2),a，102a时，解集为1,(2,)a．【B组