第07讲 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第07讲函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精讲）题型目录一览①函数单调性的判断与证明②求函数的单调区间③复合函数的单调性④函数单调性的应用⑤函数的最值（值域）★【文末附录-函数的单调性与最值思维导图】1.函数的单调性（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.（3）【特别提醒】①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有；②存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.IDDI1x2x12xx12fxfxfxDIDDI1x2x12xx12fxfxfxDyfxIMxIfxM0xI0fxMMyfx一、知识点梳理（2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有；②存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.（3）函数最值存在的两个结论①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【常用结论】1.∀x1，x2∈D(x1≠x2)，1212()()0fxfxxx＞⇔f(x)在D上是增函数；1212()()0fxfxxx⇔f(x)在D上是减函数．2.对勾函数y＝axx(a＞0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]．3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝1()fx的单调性相反．6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．题型一函数单调性的判断与证明策略方法1.定义法证明函数单调性的步骤2.判断函数单调性的四种方法yfxImxIfxm0xI0fxmmyfx二、题型分类精讲(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．3.证明函数单调性的两种方法(1)定义法；(2)导数法．【典例1】设函数122xfxxx，指出fx在2,上的单调性，并用定义法证明你的结论．【题型训练】一、单选题1．设函数yfx满足：对任意的12,Rxx都有12120xxfxfx，则3f与πf大小关系是（）A．(3)(π)ffB．(3)(π)ffC．(3)(π)ffD．(3)(π)ff2．设函数()fx的定义域为R，已知:()pfx为R上的减函数，12:qxx，12()()fxfx，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 二、填空题3．若221xfxx，则函数在0,1x上的值域是______________．4．对于函数12fxx定义域内的任意12,xx且12xx，给出下列结论：（1）1212fxxfxfx（2）1212fxxfxfx（3）12120fxfxxx（4）121222fxfxxxf其中正确结论为：三、解答题5．根据定义证明函数1yxx在区间(1,)上单调递增.6．已知函数1,1,0023axbfxffx.(1)求fx的解析式;(2)判断并证明函数fx在,2上的单调性.7．设fx对任意的,Rxy有fxyfxfy，且当0x时，0fx.(1)求证fx是R上的减函数；(2)若213f，求fx在3,3上的最大值与最小值.题型二求函数的单调区间策略方法求复合函数单调区间的一般步骤(1)求函数的定义域(定义域先行)．(2)求简单函数的单调区间．(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．【典例1】已知函数()||(2)fxxx(1)画出函数图象(2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间.【题型训练】一、单选题1．函数22yxx，(5,5)x的单调减区间为（）A．1(,)2B．1(,)2C．1(,5)2D．1(5,)22．函数225fxxx的单调增区间是（）A．,1和0,1B．,1和1,C．1,0和1,D．()1,0-和0,13．如果函数yfx在区间I上是减函数，且函数fxyx在区间I上是增函数，那么称函数yfx是区间I上的“可变函数”，区间I叫做“可变区间”.若函数242fxxx是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为（）A．,2和2,2B．2,2C．0,2D．1,3二、填空题4．函数12xyx的单调减区间为___________.5．函数()2(1)fxxx的单调增区间是___________.三、解答题6．已知二次函数fx的最小值为1，且满足2fxfx，02f，点13,3在幂函数gx的图像上．(1)求fx和gx的解析式；(2)定义函数,,,;fxfxgxxgxfxgx试画出函数hx的图象，并求函数hx的定义域、值域和单调区间．7．已知函数1fxxax．（其中0a）(1)求函数fx的单调增区间；(2)若对任意12,1,1xxa，使得122fxfxa恒成立，求实数a的取值范围．8．已知函数2()||,()21fxxagxxax（a为正常数），且函数()fx与()gx的图象在y轴上的截距相等．(1)求a的值；(2)求函数()()fxgx的单调递增区间；题型三复合函数的单调性策略方法集合运算三步骤【典例1】函数2()ln23fxxx的单调递减区间是（）A．,1B．,1C．1,D．3,【题型训练】一、单选题1．函数2fxxx的单调递增区间为（）A．0,1B．1,2C．1,2D．10,22．已知2212xaxfx在1,3上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．,1B．1,2C．2,3D．3,3．已知函数2,1,ln,1,xxfxxx则2yfx的大致图像是（）A．B．C．D．二、填空题4．函数2log(1)(2)yxx的单调递减区间是____________.5．已知log3afxax在0,2上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.6．已知函数221(0xaxfxaa且1)a在区间3,25上单调递减，则实数a的取值范围是___________.三、解答题7．已知函数132()log2kxfxx为奇函数．(1)求常数k的值；(2)判断函数()fx在(2,)上的单调性．8．已知函数1()(0)axfxaa(1)若0a，求()fx的定义域.(2)若函数在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围.题型四函数单调性的应用策略方法1．比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．2．求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．【典例1】已知函数28fxxkx在1,4上单调，则实数k的取值范围为（）A．28,B．8,2C．,82,D．,28,【典例2】已知函数32log12313xxaxfxx，若()1fa，则不等式28(2)fxfx的解集为（）A．(2,4)B．(2,)C．(4,2)D．(1,4)【题型训练】一、单选题1．“2a”是“()afxxx在(0,)上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若函数21mfxmxx在2,4上单调递增，则实数m的范围为（）A．1mB．12mC．112mD．12m3．已知函数log3afxax在0,1上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．0,1B．1,3C．0,11,3D．0,34．已知函数2(31)4,1()6,1axaxfxxaxx满足对任意12,xx，当12xx时都有12120fxfxxx成立，则a的取值范围是（）A．2,B．1,23C．1,13D．1,25．已知函数fx是定义域为0,的减函数，若221fmfm，则实数m的取值范围是（）A．1,3B．1,3C．1,13D．11,36．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]上单调递减，则满足1(31)2fxf的实数x的取值范围是（）A．11,26B．11,26C．11,36D．11,367．已知偶函数fx的定义域为R，且对于任意1212,,0xxxx均有21210fxfxxx成立，若121fafa，则实数a的取值范围是（）A．2,0,3B．2,3C．20,3D．20,38．已知函数244xfxx，若132fafa，则实数a的取值范围是（）A．2,3B．233,,4322C．4,D．2,4,39．已知fx是定义在1,1上的偶函数，且在0,1上单调递增，则1fxfx的解集为（）A．1,03B．1,13C．10,2D．10,3二、填空题10．已知函数22fxxax与1agxx在区间1,2上都是减函数，那么a__________.11．已知函数1(1)2,0()3,0xaxaxfxx,在R为单调函数，则实数a的取值范围为______．12．已知函数11,(01)()2ln,(1)xfxxxx，则不等式2(22)fttft的解集是_________．13．奇函数f(x)是定义域为(－1，1)上的减函数，且f(2a－1)＋f(a－1)0，则a的取值范围是________．三、