第18讲 同角三角函数的基本关系、诱导公式（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第09讲同角三角函数的基本关系、诱导公式（精讲）题型目录一览①“知一求二”问题②已知tanα求sinα，cosα齐次式的值③sinα±cosα与sinαcosα关系的应用④诱导公式化简与求值⑤诱导公式的应用一、同角三角函数基本关系(1)平方关系：1cossin22．(2)商数关系：)2(tancossink；二、三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Zkk22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【常用结论】一、知识点梳理1．利用1cossin22可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tancossin可以实现角的弦切互化．2．222(sincos)sincos2sincos1sin2222(sincos)sincos2sincos1sin222(sincos)(sincos)2题型一“知一求二”问题策略方法对sinα，cosα，tanα的知一求二问题(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.【典例1】已知4cos,0π5，则tan的值为（）A．34B．43C．43D．43【题型训练】一、单选题1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知π0,2，且2cos3，则tan2（）A．35B．35C．45D．452．（2023·全国·高三专题练习）若角的终边不在坐标轴上，且sin2cos2，则tan()A．43B．34C．23D．323．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）设sin23m，则tan67（）A．21mmB．21mmC．21mmD．211m二、题型分类精讲二、填空题4．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知是第四象限角，且1sin2，则cos______．5．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知角A为ABC的内角，3cos2A，则sinA_________．三、解答题6．（2023·全国·高三专题练习）已知costanxx，求sinx的值.题型二已知tanα求sinα，cosα齐次式的值策略方法若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．【典例1】已知tan3，则sin2cossin2cos（）A．2B．5C．6D．8【题型训练】一、单选题1．（2023·广东·高三专题练习）若3sin2cos82sincos3，则πtan4（）A．3B．3C．2D．22．（2023·海南海口·校联考一模）已知tan2，则213cossin2（）A．12B．14C．2D．43．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程sin2cos0，则2cossincos（）A．45B．35C．35-D．454．（2023·江苏·统考模拟预测）已知tanπ2，则cos21sin2（）A．－3B．13C．3D．135．（2023·河南·校联考模拟预测）已知πtan34，则cos2（）A．35-B．35C．1D．1二、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）已知tan2=-，则2sincoscossin__________7．（2023·高三课时练习）若3sincos0，则1cos22sincos的值为______.三、解答题8．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知1tan2，求sin和cos的值；（2）已知sin2cos0，求222sin113cos的值.题型三sinα±cosα与sinαcosα关系的应用策略方法对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－2，2])，则sinαcosα＝t2－12，sinα－cosα＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．【典例1】已知在ABC中，5sincos5AA，则sincosAA（）A．55B．355C．55D．35-【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知1sincos2，则sin2（）A．14B．14C．34D．342．（2023·山西阳泉·统考二模）已知6sincos3，0π，则sincos（）A．233B．233C．33D．333．（2023·山西·校联考模拟预测）已知1ππsincos,,522，则sincossincos（）A．125B．125C．1235D．1235二、多选题4．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知1sincos5，0,π，则（）A．12sincos25B．sincos1225C．7sincos5D．4tan3三、填空题5．（2023·全国·高三专题练习）已知7sincos0π13，则tan______．6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知πsincossin,sincossin2,0,2，则cos___________．四、解答题7．（2023·全国·高三专题练习）已知sin，cos是关于x的一元二次方程220xxm的两根．(1)求sincos的值；(2)若0，求sincos的值．8．（2023·全国·高三专题练习）已知7sincos13xx(0πx)，求cos2sinxx的值.题型四诱导公式化简与求值策略方法1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．【典例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点1,2P.(1)求tan的值；(2)求2sinπcos2πππcossin22的值.【题型训练】一、单选题1．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）若costan3sin，则sin22π（）A．13B．23C．79D．892．（2023·全国·高三专题练习）已知cosπ22π2sin4，则sincos+等于（）A．72B．72C．12D．12二、填空题3．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知为锐角，若π3cos25，则tan________．三、解答题4．（2023·全国·高三专题练习）已知sin3sin232coscos2f.(1)化简f.(2)已知tan3，求f的值.5．（2023·全国·高三专题练习）已知α是第三象限角，且sin()cos(2)tan()()tan()sin()f.（1）若cos31()25，求f（α）的值；（2）若α=-1860°，求f（α）的值.题型五诱导公式的应用策略方法求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值【典例1】若π1sin()63，则2πcos()3（）A．13B．13C．79D．79【题型训练】一、单选题1．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知π5cos513，则7πsin10（）A．513B．513C．-1213D．12132．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知π310cos810，则sin4（）A．725B．725C．1825D．18253．（2023·河北·统考模拟预测）已知π2sin65，则5πcos23（）A．825B．1725C．255D．554．（2023·全国·高三专题练习）已知π4sin65，则πcos23（）A．125B．725C．2425D．9255．（2023·四川雅安·统考三模）已知π1cos63，则πsin26（）A．79B．79C．223D．2236．（2023·全国·高三专题练习）已知0,π，若5πsin2cos4，则πtan22（）A．1B．33C．3D．3二、填空题7．（2023·全国·高三专题练习）已知π3sin44x，则7πcos4x__________．8．（2023·山西阳泉·统考三模）已知π3sin63，且ππ,44，则πsin3_______．9．（2023·全国·高三专题练习）已知0＜β＜4，4＜α＜34，cos（4﹣α）＝35，sin（34+β）＝513，则sin（α+β）＝______