第19讲 三角恒等变换（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第19讲三角恒等变换（精讲）题型目录一览①公式的直接应用②辅助角公式的应用③三角函数式的化简④给值求值问题⑤给值求角问题一、两角和与差的正余弦与正切①sin()sincoscossin；②cos()coscossinsin；③tantantan()1tantan；二、二倍角公式①sin22sincos；②2222cos2cossin2cos112sin；③22tantan21tan；三、降幂公式2211cos21cos2sincossin2;sin;cos;222四、辅助角公式)sin(cossin22baba（其中abbaababtancossin2222，，）．【常用结论】拆分角的变形：①=22；=(+)-；②()；一、知识点梳理③1[()()]2；④1[()()]2；⑤()424．题型一公式的直接应用策略方法应用公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．【典例1】sin400cos20cos40cos110（）A．12B．32C．12D．32【答案】B【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解．【详解】sin400cos20cos40cos110sin40360cos20cos40cos2090sin40cos20cos40sin203sin(4020)sin602．故选：B．【典例2】下列各式中，值为12的是（）A．1cos15sin152B．22cossin1212C．2tan22.51tan22.5D．sin15cos15【答案】C【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.【详解】对于A，1222(cos15sin15)cos(4515)cos602224，A不符合；对于B，22πππ3cossincos121262，B不符合；对于C，22tan22.512tan22.511tan451tan22.521tan22.522，C符合；对于D，11sin15cos15sin3024，D不符合.二、题型分类精讲故选：C【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）sin70sin40sin50cos110（）A．12B．12C．32D．32【答案】C【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.【详解】sin50sin(9040)cos40；cos110cos(18070)cos70；原式sin70sin40cos40cos703cos7040cos302.故选：C2．（山西省太原市2022届高三第一次模拟数学试题）sin20sin40（）A．sin50B．sin60C．sin70D．sin80【答案】D【分析】利用三角函数和差公式即可.【详解】sin20sin40sin6040sin40sin60cos40cos60sin40sin40sin60cos40cos60sin40sin6040sin100sin18080sin80；故选：D.3．（四川省成都市玉林中学2023届高三适应性考试数学试题）设π1tan44，则πtan4等于（）A．-2B．2C．-4D．4【答案】C【分析】先用两角差的正切公式可求出tan的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan11tan41tan4，所以5tan3，故πtan1tan441tan，故选：C．4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知角ππ,42，且4sin25，则sin（）A．25B．55C．45D．255【答案】D【分析】由4sin25及2的范围求出4cos25，再根据二倍角的余弦公式可求出sin.【详解】因为ππ,42，所以π2,π2，又4sin25，所以23cos21sin25，所以2312sin5，即24sin5，因为ππ,42，所以25sin5.故选：D.5．（2023·全国·高三专题练习）若为锐角，1tancos21，则tan（）A．12B．1C．23D．3【答案】B【分析】根据二倍角的余弦公式与同角三角函数的关系化简得出只关于tan的式子，即可解得答案.【详解】Q为锐角，cos0222222111sincos11tantancos212cos112cos2cos22，即2tan2tan10，解得tan1，故选：B.6．（2023·广东深圳·校考二模）已知tan22，则1cossin的值是（）A．22B．2C．2D．12【答案】D【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案.【详解】由tan22，则212cos11cos2sin2sincos222cos2sincos221tan212.故选：D二、填空题7．（2023·全国·高三专题练习）计算：2cos202cos252sin25______.【答案】22【分析】根据两角差的余弦公式计算化简可得原式等于2sin252sin25，即可得出结果.【详解】由题意得，2cos202cos252cos(4525)2cos252sin252sin252cos252sin252cos252sin2522sin252sin252.故答案为：22.8．（2023·全国·高三专题练习）若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sin4a＝____________.【答案】7210【解析】根据同角的三角函数关系式中平方和关系、两角和的正弦公式直接求解即可.【详解】因为cosα＝－45，α是第三象限的角，所以2243sin1cos1()55，所以有：sin4sincoscossin443242()525272.10a故答案为：7210【点睛】本题考查了同角三角函数关系式和两角和的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.9．（2023·全国·高三专题练习）3tan50tan20tan50tan203____________．【答案】33【分析】由正切的差角公式，可得tan50tan20tan50201tan50tan20，经过等量代换与运算可得答案.【详解】3tan50tan20tan50tan2033tan50201tan50tan20tan50tan2033tan301tan50tan20tan50tan2033333tan50tan20tan50tan203333．故答案为：33.10．（2023·全国·高三专题练习）已知tan0，π3sin23，则sin2__________．【答案】223【分析】首先根据题意得到3cos3，6sin3，再利用正弦二倍角公式求解即可.【详解】因为π3sincos023，tan0，所以26sin1cos3，所以6322sin22sincos2333.故答案为：223题型二辅助角公式的应用【典例1】求函数πsincos6fxxx的最大值（）A．3B．2C．2D．1【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简fx，从而求得fx的最大值.【详解】π3133πsincossincossinsincos3sin622226fxxxxxxxxx所以，当πππ2π,2π,Z623xkxkk时fx取得最大值为3.故选：A【题型训练】一、单选题1．（2023·新疆和田·校考一模）该函数sin3cosyxx的最大值是（）A．1B．6C．2D．2【答案】C【分析】根据辅助角公式化简结合三角函数的性质即得.【详解】因为πsin3cos2sin3yxxx，又πsin1,13x，所以函数sin3cosyxx的最大值是2.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）函数()sincos33xxfx的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简fx，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，22sincos2sincos2sin33232334xxxxxfx，所以fx的最小正周期为2613Tpp==，最大值为2.故选：C．3．（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）已知sin21cos2，且π(0,)2，则（）A．12B．6C．4D．3【答案】C【分析】根据三角函数的辅角公式可得sin2cos22sin214，进而2sin242，再根据π(0,)2，分析可得52(,)444，由此即可求出结果.【详解】因为sin21cos2，所以sin2cos22sin214，所以2sin242，又π(0,)2，所以52(,)444，所以3244，故4.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅角公式，三角函数值的应用，属于基础题.4．（2023·广西·校联考模拟预测）sin3cos3的值所在的范围是（）A．21,2B．2,02C．20,2D．2,1【答案】A【分析】利用辅助角公式变形，再探讨角所在区间即可判断作答.【详解】πsin3cos32sin(3)4，而11π3π12，则7ππ5π3644，即有2π1sin(3)242，所以sin3cos3的值所在的范围是2(1,)2.故选：A二、填空题5．（2023·全国·高三专题练习）已知2,1a，cos,sinb，则ab的最大值为________【答案】5【分析】根据向量数量积的乘法运算法则计算，结合辅助角公示即可求得最大值.【详解】因为2,1a，cos,sinb，则=2cossin5sin()ab，tan2，所以ab的最大值为5.故答案为：5.6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若sin3cos2xx，则cos2x__________．【答案】12【分析】利用辅助角公式得πsin13x即可求出π2π,6xkkZ即可求解cos2x.【详解】因为πsin3cos2sin23xxx