第20练 三角函数的图像与性质（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第20练三角函数的图像与性质（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题1．下列函数中，在π0,2上递增的偶函数是（）A．sin2xyB．tanyxC．cos2yxD．sinyx【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质判断即可.【详解】对于A：sin2xy为奇函数，故A错误；对于B：tanyx为奇函数，故B错误；对于C：cos2yx为偶函数，但是函数在π0,2上单调递减，故C错误；对于D：sinxyfx，则sinsinfxxxfx，故sinyx为偶函数，且π0,2x时sinsinyxx，函数在π0,2上单调递增，故D正确；故选：D2．函数22cossin22xxfx的最小正周期为（）A．π2B．πC．4πD．2π【答案】D【分析】利用二倍角公式化简函数解析式，结合余弦函数的周期公式求其周期.【详解】因为22cossincos22xxfxx，所以函数fx的最小正周期2πT.故选：D.3．求函数πsincos6fxxx的最大值（）A．3B．2C．2D．1【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简fx，从而求得fx的最大值.【详解】π3133πsincossincossinsincos3sin622226fxxxxxxxxx所以，当πππ2π,2π,Z623xkxkk时fx取得最大值为3.故选：A4．若函数2sinyxa的最大值为2，则a的值等于（）A．2B．2C．0D．4【答案】D【分析】根据正弦函数的性质即可求解.【详解】由于1sin1x，所以sin1x时，2sinyxa取最大值，故22a，所以4a，故选：D5．若ππ42，，则sin，cos，tan的大小顺序是（）A．costansinB．tancossinC．cossintanD．sincostan【答案】C【分析】利用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分别求得sin,cos,tan在ππ42，的取值范围，进而得到sin,cos,tan的大小顺序.【详解】当ππ42，时，2sin12，20cos2，tan1则20cossin1tan2，则cossintan故选：C6．设π0,2，则sincos的一个可能值是（）A．ln2B．122+C．2π7D．1【答案】B【分析】根据辅助角公式以及三角函数的性质可得sincos12，，进而可求解.【详解】由于πsincos2sin4，又π0,2，所以ππ3π444，，所以π2sin142，，所以sincos12，，(12122，+ùÎúû，故选：B7．函数sinlgfxxx零点的个数（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】画出函数sinyx和lgyx的图象，根据函数图象得到答案.【详解】画出函数sinyx和lgyx的图象，其中0x，如图,由图可知，当01x时，sin0,lg0xx，两函数图象没有交点；当110x时，两函数图象有3个交点；当10x时，lg1sinxx，两函数图象没有交点，综上，函数sinyx和lgyx的图象有3个交点，所以，函数sinlgfxxx零点的个数为3．故选：C.8．若02π，且1sin2，2cos2，则的取值范围是（）A．π5π7π,,2π464B．5π7π,64C．π3π0,,2π44D．5π7π,π,2π64【答案】B【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解1sin2，2cos2，再求解交集即可.【详解】由1sin2，可得06或5π2π6；由2cos2，可得π7π44．综上，的取值范围是5π7π,64．故选：B.9．已知角x为斜三角形的内角，ta33nfxx，则0fx的x的取值范围是（）A．π,π6B．π,π3C．ππ,62D．ππ,32【答案】D【分析】确定ππ0,,π22x，变换得到tan3x，解得答案.【详解】角x为斜三角形的内角，则ππ0,,π22x，0tan33xxf，即tan3x，故ππ,32x.故选：D.10．当0,2x时，14sinsinfxxx的最小值为（）A．5B．4C．2D．1【答案】B【分析】令sintx，由π0,2x，可得0,1t，利用基本不等式求解即可.【详解】令sintx，由π0,2x，可得0,1t，所以114244fttttt，当且仅当14tt时，即1π,26tx时取等.故选：B.二、多选题11．下列各式正确的是（）A．15sinsin26B．35coscos46C．7tansin66D．sincos55【答案】ABD【分析】根据诱导公式和正余弦函数的单调性比较大小即可.【详解】A中，因为5ππsinsin66，10262，由sinyx在0,2单调递增，所以15sinsin26，所以A正确；B中，因为32cos42，53cosπ62，显然3222，即35coscos46，所以B正确：C中，7tantan66，ππtansin66，故7tansin66，所以C错误；D中，因为3cossin510，在0,2内sinyx单调递增，所以ππsincos55，所以D正确；故选：ABD．12．函数21sin2sinR2fxxxx，下列说法正确的是（）A．fx的最小正周期为2πB．00fC．fx的值域为121222，D．fx的值域为121222，【答案】BC【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，然后根据性质分别分析即可.【详解】21sin2sin2fxxx111sin2cos2222xx2π1sin2242x，所以2ππ2T，所以A不正确;由2π12210sin200242222f，所以B正确;因为xR，所以π1sin214x，所以fx的值域为121222，，所以C正确，D不正确，故选：BC.13．已知函数sincosfxxx，则下列结论正确的是（）A．fx的最小正周期为πB．fx的值域为1,2C．fx的图象是轴对称图形D．fx的图象是中心对称图形【答案】BC【分析】对选项A，根据π2为fx的周期，故A错误，对选项B，π0,2x时，12fx，再结合周期即可判断B正确，对选项C，根据fx为偶函数，即可判断C正确，对选项D，根据fx的值域为1,2，即可判断D错误.【详解】对选项A，πππsincoscossin222fxxxxxfx，所以π2为fx的周期，故A错误.对选项B，当π0,2x时，πsincos2sin4fxxxx，因为ππ3π444x，所以2πsin124x，即12fx.因为π2为fx的周期，所以fx的值域为1,2，故B正确.对选项C，函数sincosfxxx的定义域为R，sincossincosfxxxxxfx，所以fx为偶函数，关于y轴对称，即fx的图象是轴对称图形，故C正确.对选项D，因为fx的值域为1,2，所以fx的图象不是中心对称图形，故D错误.故选：BC三、填空题14．函数 32cos23yx的最小值是___________.【答案】1【分析】根据三角函数的有界性求出最小值.【详解】当π2π2π3xk，Zk时，即ππ3xk，Zk时，cos23x取得最小值为1，此时 32cos23yx取得最小值为1故答案为：115．函数πsin(2)3yx在π[0,]3x上的值域为______．【答案】0,1【分析】根据给定区间，求出函数相位的范围，再利用正弦函数性质求解作答.【详解】π[0,]3x，则ππ2[,π]33x，于是πsin(2)[0,1]3x，所以所求值域为0,1.故答案为：0,116．函数sin2cos1xyx的定义域为__________．【答案】2,xxkkZ【分析】求出cos10x的解后可得函数的定义域.【详解】由题设可得cos10x，故2,xkkZ，故函数的定义域为2,xxkkZ.故答案为：2,xxkkZ.17．函数2sincosyxx的最大值为_________________【答案】54【分析】化简函数解析式，结合换元法、二次函数的性质求得函数的最大值.【详解】函数22sincoscoscos1yxxxx，令costx，[1,1]t，则2215124yttt，[1,1]t，所以当12t时，函数取得最大值为54.故答案为：54.18．求f(x)=12cos()2x的定义域___________.【答案】522,44xkxkkZ∣剟【解析】将定义域问题转化为求222cosx，然后将2x看成一个整体，利用余弦函数的图象即可得到关于x的不等式组，求解即可得到函数fx的定义域.【详解】解：要使函数有意义，则12cos02x,即222cosx，由余弦函数的图象得，722424kxk，解得，522,44kxkkZ，故函数的定义域是5|22,44xkxkkZ.故答案为：5|22,44xkxkkZ.【点睛】本题主要考查利用余弦函数的图象解三角不等式，利用三角函数的图象求解关于x的正余弦，正切的不等式，是十分重要的，一般的将x看做一个整体，利用函数的图象与直线ya，利用数形结合方法求解.当然，本题还可以利用诱导公式转化为关于正弦的不等式求解，但此处采用一种通性通法来求解，更具有一般性.19．函数2()2sincos2fxxx的值域为__________．【答案】0,3【分析】用余弦的二倍角公式转化为二次函数求值域.【详解】因为2222()2sincos22sin(12sin)4sin1fxxxxxx，又20sin1x，所以214sin13x，则204sin13x，即函数()fx的值域为0,3.故答案为：0,3.20．满足1sin2x„且tan1x…的x的取值范围为__________________.【答案】532,2,42kkkZ