第23讲 平面向量基本定理和坐标表示（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第23讲平面向量基本定理和坐标表示（精讲）题型目录一览①平面向量基本定理的应用②平面向量的坐标运算③向量共线的坐标表示一、平面向量基本定理和性质（1）共线向量定理如果()abR，则//ab；反之，如果//ab且0b，则一定存在唯一的实数，使ab．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数,，使OCOAOB，其中1，O为平面内一点．若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得ACAB存在唯一的实数，使得OCOAAB存在唯一的实数，使得(1)OCOAOB存在1，使得OCOAOB．（3）中线向量定理如图所示，在ABC△中，若点D是边BC的中点，则中线向量1(2ADAB)AC，反之亦正确．二、平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底，那么由平面向量基DACB一、知识点梳理本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,xy使axiyj，我们把有序实数对(,)xy叫做向量a的坐标，记作(,)axy．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)xy一一对应向量OA一一对应点(,)Axy．（3）设11(,)axy，22(,)bxy，则1212(,)abxxyy，1212(,)abxxyy，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)axy，为实数，则(,)axy，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)Axy，22(,)Bxy，则ABOBOA=12(,xx12)yy，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．三、平面向量的直角坐标运算①已知点11()Axy，，22()Bxy，，则2121()ABxxyy，，222121||()()ABxxyy②已知11(,)axy，22(,)bxy，则ab1212()xxyy，，11(,)axy，【常用结论】①减法公式：ABACCB，常用于向量式的化简．②A、P、B三点共线(1)OPtOAtOB()tR，这是直线的向量式方程．③ab∥12210xyxy题型一平面向量基本定理的应用策略方法平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．【典例1】在平行四边形ABCD中，ABa=，ADb.二、题型分类精讲(1)如图1，如果E、F分别是BC，DC的中点，试用、ab分别表示,BFDE；(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用、ab表示AG.【题型训练】一、单选题1．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在ABC中，12BDDC，E为AD中点，则EB（）A．4136ABACB．2136ABACC．5163ABACD．7163ABAC2．（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设ABa=，ACb，F是DE的中点，则AF（）A．1122abB．1122abC．1142abD．1142ab3．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，12ANAM，则CN（）A．1324ABADB．1344ABADC．1162ABADD．1526ABAD4．（2023·山西大同·统考模拟预测）在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，BMmABnAC，则mn（）A．12B．12C．1D．15．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在ABC中，P是ABC中线AD的中点，过点P的直线MN交边AB于点M，交边AC于点N，且ABmAM，ACnAN，则mn（）A．14B．2C．12D．46．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，且AF＝λa＋μb，则λ＋μ等于（）A．1B．34C．23D．12二、多选题7．（2023·江苏苏州·模拟预测）在ABC中，记ABa=，ACb，点D在直线BC上，且3BDDC.若ADmanb，则mn的值可能为（）A．2B．13C．13D．28．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC中，若点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，设AD，BE，CF交于一点O，则下列结论中成立的是（）A．BCACABB．1122ADACABC．2233AOACABD．2233OCACAB三、填空题9．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在ABC中，若点P满足2BPPC，设ABAPAC，则______.10．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在ABC中，3ABAD，点E是CD的中点.若存在实数,使得AEABAC，则__________（请用数字作答）.11．（2023·福建漳州·统考三模）已知ABC，点D满足34BCBD，点E为线段CD上异于C，D的动点，若AEABAC，则22的取值范围是_________.四、解答题12．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设BA＝a，BC＝c.(1)用,ac表示向量AE；(2)若点F在AC上，且1455BFac，求AF∶CF.题型二平面向量的坐标运算策略方法平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．【典例1】如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为2,1,3,2,1,3.(1)写出向量AB，AC，BC的坐标；(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是（）A．2,2B．2,2C．1,1D．1,12．（2023·全国·高三专题练习）已知ABCDY的顶点1,2A，3,1B，5,6C，则顶点D的坐标为（）A．1,4B．1,5C．2,4D．2,53．（2023·全国·高三专题练习）已知1,1,0,1ABC，若2CDAB，则点D的坐标为（）A．(－2，3)B．(2，－3)C．(－2，1)D．(2，－1)4．（2023·浙江·二模）若3,2AB，1,4AC，则BC（）A．2,2B．2,2C．2,2D．2,25．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知向量2,3a，1,2b，9,4c，若cmanb，则mn（）A．5B．6C．7D．86．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点1,2A，2,6B，则与AB方向相反的单位向量是（）A．3,4B．3,4C．34,55D．34,557．（2023·全国·高三专题练习）如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120，点C在弧AB上，且30COB，若OCOAOB，则（）A．33B．3C．433D．238．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，设1,0,3,4AB，向量,6OCxOAyOBxy，则AC的最小值为（）A．1B．2C．5D．25二、填空题9．（2023·河北·高三学业考试）若3,4AB，A点的坐标为2,1，则B点的坐标为__________.10．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知2,4A，3,4C，且3CMCA，则点M的坐标为______.11．（2023·贵州·统考模拟预测）已知向量1,0,1,1,1,2abc，且cab，则__________.三、解答题12．（2023·全国·高三专题练习）已知2,4A,3,1B,3,4C，且=3CMCA，=2CNCB，求点,MN及向量MN的坐标.题型三向量共线的坐标表示策略方法平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．【典例1】已知1,0a，2,1b，3,4cr．(1)若//kabc，求k的值；(2)若23ABab，BCamb且A，B，C三点共线，求m的值．【题型训练】一、单选题1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量2,1,,2abx，若3//abab，则实数x（）A．5B．4C．3D．22．（2023·广东佛山·校考模拟预测）梯形ABCD中，222ABBCCDAD，已知2,4ABuuur，则CD（）A．2,1B．1,2C．1,2D．2,13．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量23,2,0,2,,3abck，若2abrr与c共线，则k（）A．4B．3C．2D．14．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量(1,4)PA，(2,3)PB，(,1)PCx，若A，B，C三点共线，则x的值为（）A．2B．3C．4D．55．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量2,9am，1,1b，则“3m”是“//ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在ABC中，点DE，满足2BDDCAEECBE，，与AD交于点P，若APxAByAC，则xy（）A．25B．23C．425D．49二、填空题7．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知向量,4,1,atbt，若ab∥，则实数t______.8．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知1,2,3,2ab，若kab与2ab平行，则实数k______________．9．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知向量,4am，1,bm，若a与b方向相反，则m______．10．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量1,2,24,2,1,aabc，若//bc，则___________.11．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知向量cos,2a，sin,1b，且ab，则πtan4等于______．三、解答题12．（2023春·四川遂宁·高三四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知1,1,0,1,1,OAOBOCmmR.（1）若,,ABC三点共线，求实数m的值；（2）证明：对任意实数m，恒有1CACB成立.