专题2.4 指数与指数函数（解析版）

2.4指数与指数函数思维导图知识点总结知识点一无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．知识点二实数指数幂的运算性质1．aras＝ar＋s(a0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈R)．知识点三分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：mna＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)负分数指数幂规定：1mnmnaa＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义知识点四有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．知识点四指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考为什么底数应满足a0且a≠1?答案①当a≤0时，ax可能无意义；②当a0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a0，且a≠1.知识点五两类指数模型1．y＝kax(k0)，当a1时为指数增长型函数模型．2．y＝kax(k0)，当0a1时为指数衰减型函数模型．知识点六指数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质如下表：a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1单调性在R上是增函数在R上是减函数典型例题分析考向一运用指数幂运算公式化简求值例1计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)10.52332770.0272;1259(2)222212;2(3)333035361.aaaa解(1)10.52332770.02721259＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)原式＝2222222＝23232222222.(3)原式＝3332536aaa＋1＝1＋1＝2.反思感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．考向二分数指数幂运算的综合应用例2(1)已知am＝4，an＝3，求am－2n的值；(2)已知1122aa＝3，求下列各式的值．①a＋a－1；②a2＋a－2；③3322.aa解(1)am－2n＝121222mmnnaaaa12243＝23.(2)①∵11223,aa∴211229,aa即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.②∵a＋a－1＝7，∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.∴a2＋a－2＝47.③3333112222aaaa11122(1)aaaa＝3×(7－1)＝18.反思感悟条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．考向三指数函数的图象及应用例1(1)函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是()答案D(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a0，且a≠1)恒过定点________．答案(2,2)(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝13x＋1＋2的图象？并画出相应图象．解y＝13x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数y＝3x关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝13x＋1＋2的图象，如图所示．反思感悟处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．考向四比较大小例4(1)比较下列各题中两个值的大小．①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小解(1)①∵1.71，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－2.5－3，∴1.7－2.51.7－3.②方法一∵1.70.30,1.50.30，且1.70.31.50.3＝1.71.50.3，又1.71.51,0.30，∴1.71.50.31，∴1.70.31.50.3.方法二幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，又1.71.5，∴1.70.31.50.3.③∵1.70.31.70＝1,0.83.10.80＝1，∴1.70.30.83.1.(2)设331442111,,,252abc则a，b，c的大小关系为________．(用“”连接)答案cab解析构造幂函数34yx(x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知ab；构造指数函数y＝12x，由该函数在定义域内单调递减，知ac，故cab.反思感悟比较幂值大小的3种类型及处理方法基础题型训练一、单选题1．化简111113216842(12)(12)(12)(12)(12)的结果为（）A．1321(12)2B．11321(12)2C．1132(12)D．12【答案】B【分析】利用平方差公式结合指数运算性质即可【详解】因为111323216(12)(12)12，11116168(12)(12)12，111884(12)(12)12，111442(12)(12)12，111221(12)(12)122，所以原式=1132132112(12)212故选：B2．函数31,12,1xxxfxx…，则方程2fxffx的解集是（）A．2,3B．2,3C．2,13D．1,【答案】B【分析】令fxt，则2tft，当1t时，312tt，转化为1231,2,1tytyt图象的交点问题；当1t时，22tt成立，进一步求出x的范围，即可求出答案.【详解】由函数31,12,1xxxfxx…，令fxt，则2tft，当1t时，312tt，令1231,2,1tytyt，其图象如图所示．1t时，312tt无解，当1t时，22tt成立，由1fx，得当1x时，有311x，解得213x；当1x时，有21x，解得1x，综上，x的取值范围是2,3．故选：B.3．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为A．t≤–1B．t–1C．t≤–3D．t≥–3【答案】A【分析】由指数函数的性质，可得函数gx恒过点坐标为(0,1)t，且函数gx是增函数，图象不经过第二象限，得到关于t的不等式，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A．【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．已知lnx，13ye，13logz，则A．xyzB．zxyC．zyxD．yzx【答案】C【分析】利用中间值法，将这三个数与0、1比较大小，从而得出这三个数的大小关系.【详解】由于对数函数lnyx在其定义域上是增函数，则lnln1xe，指数函数xye在R上为增函数，则10301ee，即01y，对数函数13logyx在其定义域上是减函数，则1133loglog10，即0z.因此，zyx，故选C.【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为0和1，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．已知函数，则使得21fxfx成立的的取值范围是A．1,13B．1,1,3C．1,13D．11,33，【答案】A【详解】试题分析：原函数fx满足fxfx，函数是偶函数，当0x时2xfxex是增函数，当0x时是减函数，结合函数图像可知不等式21fxfx转化为21xx，两边平方解不等式得解集为1,13考点：利用函数的奇偶性单调性解不等式6．设函数1()1,()22xfxxgxt，若存在,0,2mn，使得()()fmgn成立，则实数t的取值范围是（）A．13,82B．13,88C．13,28D．13,22【答案】D【分析】将条件转化为值域有交集，然后分类讨论求出t的范围．【详解】∵,0,2mn，使得()()fmgn成立，即()fx和()gx的值域有交集．()1,0,2,()1,1fxxxfx．∵122xgxt，当0t时，11222xgxt，满足题意；当0t时，122xgxt在区间0,2上单调递增，1110,2,()2,4222xxgxttt．∵()fx和()gx的值域有交集，∴112t，即302t；③0t时，122xgxt在区间0,2上单调递减，111[0,2],()24,222xxgxttt．∵()fx和()gx的值域有交集，∴112t，即102t；综上：1322t；故选D．【点睛】本题考查函数值域的求法及集合关系的讨论，注意根据等式关系转化为集合之间的关系，此类问题属于中档题.二、多选题7．已知函数24312axxfx，则下列叙述正确的是（）A．当1a时，函数在区间2,上是增函数B．当1a时，函数在区间2,上是减函数C．若函数fx有最大值2，则1aD．若函数fx在区间,2上是增函数，则a的取值范围是0,1【答案】BCD【分析】利用复合函数的单调性逐一判断各选项即可.【详解】对于AB选项：当1a时，24312xxfx，因为12xy在R上单调递减，243yxx在2,上单调递增，由复合函数的性质可得，函数24312xxfx在2,上单调递减，故A错误，B正确；对于C选项：若24312axxfx有最大值2，显然0a不成立，则函数2224433yax