第24讲 平面向量的数量积及其应用（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第24讲平面向量的数量积及其应用（精讲）题型目录一览①平面向量的数量积的运算②平面向量的模长③平面向量的夹角④两个向量的垂直问题⑤平面向量的投影数量、投影向量⑥平面向量的应用一、平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab=||||cosab，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，OA→表示向量a，OB→表示向量b，过点A作OB→所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量OA1→的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1→称为向量a在向量b上的投影向量.,向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ)b|b|.二、数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则：①abba；②()()()ab=abab；③()abc=acbc．一、知识点梳理三、数量积的性质设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则①||coseaaea．②0abab．③当a与b同向时，||||abab；当a与b反向时，||||abab．特别地，2||aaa或||aaa．④cos||||abab(||||0)ab．⑤||||||abab≤．四、数量积的坐标运算已知非零向量11()xy，a，22()xy，b，为向量a、b的夹角．结论几何表示坐标表示模||aaa22|xya|数量积||||cosabab1212xxyyab夹角cos||||abab121222221122cosxxyyxyxyab的充要条件0ab12120xxyy∥ab的充要条件0（）abb12210xyxy||ab与||||ab的关系||||||abab(当且仅当ab∥时等号成立)1212||xxyy≤22221122xyxy【常用结论】(1)b在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线二、题型分类精讲题型一平面向量的数量积的运算策略方法平面向量数量积的三种运算方法【典例1】已知向量,ab的夹角为56，且||1,||3ab，则(2)()abab（）A．312B．12C．72D．52【典例2】已知ABC的外接圆圆心为O，且2AOABAC，2AOAB，则BABC（）A．0B．2C．4D．43【题型训练】一、单选题1．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量2,2OP绕坐标原点O顺时针旋转75得到1OP，则1OPOP（）A．622B．62C．62D．6222．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量1,2ar，3,4b，5,cm（Rm），则2abc（）A．5B．5C．5mD．5m3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知C的半径为2，2AB，则ABAC（）A．1B．-2C．2D．234．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量,ab满足||2,||5ab，且a与b夹角的余弦值为15，则23abab（）A．28B．18C．12D．725．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足1233CMCBCA，则MAMB（）A．89B．139C．89D．1396．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为2，且π3BAD，则ABACAD的值为（）A．2B．4C．6D．87．（2023·全国·模拟预测）在ABC中，M是BC的中点，1AM，点P在AM上且满足2APPM，则()PAPBPC等于（）A．49B．43C．43D．498．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，12ABAD，G是菱形ABCD内一点，若0GAGBGC，则AGAB（）A．12B．1C．32D．29．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量,ab满足||1,||2,2abcab，且,ab夹角为120，则ac（）A．0B．1C．2D．210．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形ABCD中，1,2,ABADAC与BD相交于点O，过点A作AEBD于E，则AEAO（）A．1225B．2425C．125D．45二、多选题11．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）圆O为锐角ABC的外接圆，22ACAB，则OAOB的值可能为（）．A．12B．916C．58D．7812．（2023·全国·模拟预测）在菱形ABCD中，2AB，60DAB，点E为线段CD的中点，AC和BD交于点O，则（）A．0ACBDB．2ABADC．14OEBAD．52OEAE13．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设O为ABC的外心，2AB，4AC，BAC的角平分线AM交BC于点M，则（）A．2133AMABACB．1233AMABACC．2ABAOD．6AMAO三、填空题14．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知向量(,1)mx,(3,2)n,若2(1,4)mn，则mn______．15．（2023·山东威海·统考二模）已知向量2,1ar，0,1b，catb，若6ac，则t＝______．16．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量a，b的夹角为60，1a，21aab，则2abb______．17．（2023·河北·校联考一模）已知O为ABC的外心，若2OA，且75BAC，则OBOC__________.18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形EFGH中，2EFEH，则HGFH__________.19．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形123456AAAAAA的边长为1，P为边12AA的中点，O为正六边形的中心，则4OPOA______．20．（2023·北京通州·统考三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则BPCQAPCB=___________.21．（2023·广东汕头·统考三模）在ABC中，2AB，1AC，60BAC，12CDBC，求ADCD_________.22．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆M为ABC的外接圆，5AB，7AC，N为边BC的中点，则ANAM______.题型二平面向量的模长策略方法求向量模的方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a．(2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2．(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．【典例1】已知a，b均为单位向量，且a与b夹角为60，则2ab（）A．3B．2C．2D．3【典例2】已知向量,ab满足1a，2b，3,2ab，则ab（）A．22B．10C．1D．25【题型训练】一、单选题1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知向量2,3ar，1,4b，,2c，若25abc，则实数（）．A．1或4B．1或4C．0或8D．0或82．（2023·全国·高三专题练习）平面向量a与b的夹角为45，(1,1)a，||2b，则3ab等于（）A．1362B．25C．30D．343．（2023·河北衡水·模拟预测）已知平面向量,ab满足||2,||1,(3,2)abab，则2ab（）A．15B．42C．21D．334．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b，c满足(2,1)a，1,1b，10ac，1bc，则||c（）A．3B．17C．25D．55．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知平面向量||2a，||1b，,ab的夹角为60，3atbtR，则实数t（）A．1B．1C．12D．16．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知向量1,am，1,0b，且6abab，则ar（）A．5B．23C．22D．267．（2023·重庆·校联考三模）在△ABC中，2ABAC，1BC且点D满足BDDC，则AD（）A．5B．6C．3D．328．（2023·广东深圳·统考模拟预测）向量,,abc满足0abc，()abc，ab，若1a，则222abc（）A．1B．2C．4D．89．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在ABC中，2AB，1AC，1cos4BAC，M为线段BC的中点，则2AM（）A．3B．32C．5D．102二、填空题10．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知2,1a，4,bt，若2ab，则2ab______．11．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知,ab为单位向量，且满足56ab，则2ab______.12．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知向量(,2)at，(,1)bt，满足abab，则t__________．13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量,ab满足3ab，2abab，则b______．14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量(cos,sin),(2,0)ab，则||ab的最大值为_________．15．（2023·全国·高三专题练习）已知1a，4baba，则14ba的最小值是______.题型三平面向量的夹角策略方法求向量夹角问题的方法【典例1】已知非零向量a，b，c满足1a，1abab，1ab，2cb.则向量a与c的夹角（）A．45°B．60°C．135°D．150°【题型训练】一、单选题1．（江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知,ab为单位向量，且3ab，则a与2b的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π62．（河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试文科数学试题）在ABC中，2AC，4AB，D为AC的中点，2BDAC，则A（）A．90B．60C．45D．303．（华大新高考联盟2023届高三名校预测卷全国数学文科试题）已知平面向量a，b满足3a，1b，24ab，则3ab，b夹角的余弦值为（）A．64B．612C．66D．664．（北京市海淀区2023届高三数学查缺补漏题（1））已知向量,ab是两个单位向量，则“2ab”是“,ab为锐角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（湖南省郴州市九校联盟2023届高三下学期适应性测试数学试题）已知向量,ab满足2,0aababab，则向量,ab的夹角为（）A．π6B．π3C．π2D．2π36．（江苏省镇江第一中学2023届高三下学期4月检测数学试题）单位向量a，b为的夹角为，0ac，25cab，则cos（）A．53B．23C．255D．53二、多选题7．（山东省聊城市2023届高三三模数学试题）已知向量a，b满足||6ab，||2ab，则a与b的夹角可以为（）A．π6B．2π7C．3π8D．5π98