第26讲 复数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第26讲复数（精讲）题型目录一览①复数的有关概念②复数的四则运算③复数的模长④复数相等和共轭复数⑤复数的几何意义⑥复数的三角形式一、复数的概念①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，i叫虚数单位，满足21i（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．②两个复数,(,,,)abicdiabcdR相等acbd（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)abiabR的模，其计算公式22||||zabiab二、复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）()()()()iabicdiacbd（2）()()()()abicdiacbdadbci22222()()zz||||)2abiabiabzzzzza(注意一、知识点梳理其中22||zab，叫z的模；zabi是zabi的共轭复数(,)abR．（3）2222()()()()(0)()()abiabicdiacbdbcadicdcdicdicdicd．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数(,)zabiabR对应平面内的点(,)zab；（2）复数(,)zabiabR对应平面向量OZ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数(,)zabiabR的模||z表示复平面内的点(,)zab到原点的距离．三、复数的三角形式（1）复数的三角表示式一般地，任何一个复数zabi都可以表示成(cossin)ri形式，其中r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数zabi的辐角．(cossin)ri叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式．（2）辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍．规定在02范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作argz，即0arg2z．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．（3）三角形式下的两个复数相等两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．（4）复数三角形式的乘法运算①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即111222121212(cossin)(cossin)cos()sin()ririrri．（5）复数三角形式的除法运算两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即111112122222(cossin)cos()sin()(cossin)riririr．【常用结论】①当kZ时，44142431,,1,kkkkiiiiii．②2222||||,zabiabzzab题型一复数的有关概念策略方法解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b．(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝z；③z∈R⇔z2≥0．(3)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0．【典例1】（单选题）已知i为虚数单位，若复数(1i)(2i)a是纯虚数，则实数a等于（）A．12B．12C．2D．2【题型训练】一、单选题1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）复数42i2iz的虚部为（）A．2B．16C．2D．162．（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）已知复数z满足1i1iz，则z的虚部是（）A．2B．2iC．1D．i3．（2023·湖南·校联考模拟预测）复数z满足i13iz，则z的实部是（）A．－1B．1C．－3D．34．（2023·辽宁辽阳·统考二模）复数2iz，则复数1i2zz的实部和虚部分别是（）A．3，2B．3，2iC．1，2D．1，2i5．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数12iiR,zaaz的实部与虚部互为相反数，则a（）A．3B．13C．2D．3二、题型分类精讲6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知复数6iR12iaza是纯虚数，则a的值为（）A．12B．12C．3D．37．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若复数2iR2iaza是纯虚数，则a（）A．-2B．2C．-1D．1题型二复数的四则运算策略方法复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．【典例1】（单选题）若复数z满足1i1zz（i为虚数单位），则z（）A．iB．iC．1iD．1i【题型训练】一、单选题1．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）若复数i32iz（i是虚数单位），则z=（）A．23iB．23iC．23iD．23i2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知i为虚数单位，则32i1i（）A．11i22B．11i22C．51i22D．51i223．（2023·全国·高三专题练习）12i1i（）A．33i22B．31i22C．13i22D．13i224．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若i11z，则z（）A．1iB．1iC．1iD．1i5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）若复数12zi，则1zz（）A．68i55B．612i55C．412i55D．48i556．（2023·全国·高三专题练习）若复数2i23iz，则z（）A．23i1313B．23i1313C．23i1313D．23i13137．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知2023iz，则11z（）.A．11i22B．11i22C．12D．08．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）若复数z所对应的点在第四象限，且满足2220zz，则2z（）A．1iB．1iC．2iD．2i题型三复数的模长策略方法22||zab【典例1】（单选题）已知复数z满足43i12iz，则z（）A．15B．55C．5D．5【题型训练】一、单选题1．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知复数1i12iz，则z（）A．2B．2C．10D．102．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知复数z满足(2i)43iz，则||z（）A．3B．3C．5D．53．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）若11iz，21(2i)zz，则2z（）A．10B．2C．2D．104．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若复数21iz，则23iz（）A．13B．17C．4D．55．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知i为虚数单位，且复数z满足202312i1iz，则iz（）A．1B．2C．225D．3556．（2023·四川·校联考模拟预测）20232i1i（）A．1B．2C．3D．27．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知复数z满足12i12iz（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．255B．25i5C．255D．25i58．（2023·广东东莞·统考模拟预测）复数z满足34i43iz，则z（）A．34i55B．34i55C．43i55D．34i559．（2023·全国·高三专题练习）已知复数1iz，则2zz（）A．10B．10C．2D．210．（2023·湖北武汉·统考三模）设复数z满足11zz为纯虚数，则z（）A．1B．2C．3D．211．（2023·江苏盐城·统考三模）已知a，bR，虚数1izb是方程2xax30的根，则z（）A．2B．3C．2D．512．（2023·福建漳州·统考模拟预测）复数z满足1izzz，则z（）A．12B．22C．2D．2题型四复数相等和共轭复数策略方法解决与集合的新定义有关问题的一般思路(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在z，z，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z．(3)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．【典例1】（单选题）已知i为虚数单位，复数3ii45iab，其中a，bR，则（）A．4a，5bB．5a，4bC．5a，4bD．4a，=5b【典例2】（单选题）若1i15iz，则z（）A．22iB．22iC．32iD．32i【题型训练】一、单选题1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知复数3i1iz，若z的共轭复数为z，则zz（）A．5B．5C．10D．102．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知3ii,ababR，则ab的值为（）A．1B．0C．1D．23．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知复数z满足22iz，则z（）A．1B．2C．3D．24．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知复数1+iiz，2(R)zaza，则a（）A．2B．1C．1D．25．（2023·山西大同·统考模拟预测）复数(2)(1i)2iz，则z（）A．1iB．1iC．1iD．1i6．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）已知复数2iz，则zz（）A．34i55B．34i55C．43i55-D．43i557．（2023·全国·高三专题练习）已知i是虚数单位，设复数z的共轭复数为2i,1izz，则z（）A．1iB．1iC．1iD．1i8．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数z满足22izz，其中i为虚数单位，则z（）A．32iB．23iC．2i3D．2i39．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知复数3i3iz，则z的虚部为（）A．45B．45C．35-D．3510．（2023·江西·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数24i2iz，则z（）A．2iB．2iC．63i55D．63i5511．（2023·全国·高三专题练习）已知1i22iz，则zz（）A．iB．iC．0D．112．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）若1ii1iab，其中,Rab，