第27练 数列的概念（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第27练数列的概念（精练）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b，212111b，31231111b，…，依此类推，其中(1,2,)kkN．则（）A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb【答案】D【分析】根据*1,2,kkN…，再利用数列nb与k的关系判断nb中各项的大小，即可求解.【详解】[方法一]:常规解法因为*1,2,kkN，所以1121，112111，得到12bb，同理11223111，可得23bb，13bb又因为223411,11112233411111，故24bb，34bb；以此类推，可得1357bbbb…，78bb，故A错误；178bbb，故B错误；26231111…，得26bb，故C错误；刷真题明导向11237264111111…，得47bb，故D正确.[方法二]：特值法不妨设1,na则1234567835813213455b2,bb,bb,bb,b2358132134，，，，47bb故D正确.2．（2020·北京·统考高考真题）在等差数列na中，19a，51a．记12(1,2,)nnTaaan……，则数列nT（）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151aad，则其通项公式为：11912211naandnn，注意到123456701aaaaaaa，且由50T可知06,iTiiN，由117,iiiTaiiNT可知数列nT不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1aaaaaa，故数列nT中的正项只有有限项：263T，46315945T.故数列nT中存在最大项，且最大项为4T.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.3．（2021·全国·统考高考真题）等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当0q时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当nS是递增数列时，必有0na成立即可说明0q成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,时，满足0q，但是nS不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若nS是递增数列，则必有0na成立，若0q不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列na的公差为23，集合*cosNnSan，若,Sab，则ab（）A．－1B．12C．0D．12【答案】B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{}na中，112π2π2π(1)()333naanna，显然函数12π2πcos[()]33yna的周期为3，而Nn，即cosna最多3个不同取值，又{cos|N}{,}nanab，则在123cos,cos,cosaaa中，123coscoscosaaa或123coscoscosaaa，于是有2πcoscos()3，即有2π()2π,Z3kk，解得ππ,Z3kk，所以Zk，2ππ4πππ1cos(π)cos[(π)]cos(π)cosπcosπcos333332abkkkkk.故选：B二、填空题5．（2020·浙江·统考高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2nn就是二阶等差数列，数列(1)2nn(N)n的前3项和是．【答案】10【分析】根据通项公式可求出数列na的前三项，即可求出．【详解】因为12nnna，所以1231,3,6aaa．即312313610Saaa．故答案为：10.【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．6．（2020·全国·统考高考真题）数列{}na满足2(1)31nnnaan，前16项和为540，则1a.【答案】7【分析】对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nnnaan，当n为奇数时，231nnaan；当n为偶数时，231nnaan.设数列na的前n项和为nS，16123416Saaaaa13515241416()()aaaaaaaa111111(2)(10)(24)(44)(70)aaaaaa11(102)(140)(5172941)aa118392928484540aa，17a.故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.7．（2022·北京·统考高考真题）已知数列na各项均为正数，其前n项和nS满足9(1,2,)nnaSn．给出下列四个结论：①na的第2项小于3；②na为等比数列；③na为递减数列；④na中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】推导出199nnnaaa，求出1a、2a的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，Nn，0na，当1n时，219a，可得13a；当2n时，由9nnSa可得119nnSa，两式作差可得199nnnaaa，所以，199nnnaaa，则2293aa，整理可得222390aa，因为20a，解得235332a，①对；假设数列na为等比数列，设其公比为q，则2213aaa，即2213981SSS，所以，2213SSS，可得22221111aqaqq，解得0q，不合乎题意，故数列na不是等比数列，②错；当2n时，1119990nnnnnnnaaaaaaa，可得1nnaa，所以，数列na为递减数列，③对；假设对任意的Nn，1100na，则10000011000001000100S，所以，1000001000009911000100aS，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.【A组在基础中考查功底】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足111nnaa，若502a，则1a（）A．1B．12C．32D．2【答案】B【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.【详解】由50111,2nnaaa得494847505049481111111,1121,111222aaaaaaa，所以数列na的周期为3，所以14912aa．故选：B2．（2023·甘肃·模拟预测）记数列na的前n项和为nS，且21)nnSa（，则2a（）A．4B．2C．1D．2【答案】A【分析】由11212,SaSaa列方程组求值即可.【详解】因为1112(1)Saa，解得12a.又因为21222(1)Saaa，解得24a.故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）数列na满足(1,2,3,...,26)iaii，26iiaa，若让字母表中的az分别依次对应数字126，将数列na的一些排成一列就会对应一个字符串；如：123,,aaa，对应字符串abc，若存在某数列中出现了2021a，则这个数列对应的字符串可能是下面的（）A．fudanB．danhuaC．boxueD．wensi【答案】D【分析】利用周期性求解即可.【详解】由题意可知数列na以26为周期，所以202177261919aaas，仅有D中包含字母s，故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）按一定规律排列的单项式：a，2a，3a，4a，5a，6a，…，第n个单项式是（）A．naB．naC．11nnaD．1nna【答案】C【分析】根据所给的6项，找出排列规律即可.【详解】解：因为前6项为：a，2a，3a，4a，5a，6a，所以第n项为11nna.故选：C.5．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）等比数列na的前n项和23nnSm，则m（）A．2B．2C．1D．1【答案】A【分析】求出数列的通项公式，根据通项公式确定参数的值.【详解】116aSm，当2n时，1143nnnnaSS，因为na是等比数列，所以11436m，得2m，所以A正确.故选：A.6．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）数列na满足1312,13nnaaa，则2021a（）A．23B．12C．52D．3【答案】B【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求2021a的值.【详解】由题可知，132112,113nnaaaa，得214111,3,32213aaaa，∴数列na是以3为周期的周期数列，∴202123673212aaa.故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的通项公式是342nnan，则na（）A．不是单调数列B．是递减数列C．是递增数列D．是常数列【答案】C【分析】由1nnaa与0比较即可得出答案.【详解】因为1nnaa3336046424642nnnnnn，所以na是递增数列.故选：C.8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的通项公式为50151nnan，则na中的最大项为（）A．第6项B．第12项C．第24项D．第36项【答案】C【分析】作商当11nnaa时，1nnaa；反之1nnaa.解出n的值即可.【详解】因为0na令11nnaa，得5021511nn，解得22250123.85150n．所以当123n时，1nnaa，即2423221aaaa，当24n时，1nnaa，即242526aaa，因此当24n时，na最大．故选：C.9．（2023·全国·高三专题练习）若数列na是递