第28讲 等差数列（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第28讲等差数列（精讲）题型目录一览①等差数列基本量的计算②等差数列的性质及其应用③等差数列的前n项和④等差数列中中na与nS的关系⑤等差数列中的函数特性⑥等差数列的判定与证明一、等差数列的有关概念1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为1－nnaad（常数）*()2，nNn．2.等差中项的概念若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有=2abA．二、等差数列的有关公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}na的首项为1a，公差为d，那么它的通项公式是1(1)naand．2.等差数列的前n项和公式设等差数列{}na的公差为d，其前n项和11()(1)22nnnaannSnad．三、等差数列的常用性质已知{}na为等差数列，d为公差，nS为该数列的前n项和．1.通项公式的推广：*())(，nmaanmdnmN．2.在等差数列{}na中，当mnpq时，*()，，，mnpqaaaamnpqN．一、知识点梳理3.2＋＋，，kkmkmaaa，…仍是等差数列，公差为*()，mdkmN．4.232，－，－nnnnnSSSSS，…也成等差数列，公差为2nd．5.若{}na，{}nb是等差数列，则{}nnpaqb也是等差数列．四、等差数列的前n项和公式与函数的关系21()22nddSnan．数列{}na是等差数列⇔2nSAnBn（、AB为常数）．【常用结论】1.等差数列{}na中，若,(,,)nmamanmnmnN，则0mna．2.等差数列{}na中，若,(,,)nmSmSnmnmnN，则()mnSmn．3.等差数列{}na中，若(,,)nmSSmnmnN，则0mnS．4.若{}na与{b}n为等差数列，且前n项和为nS与nT，则2121mmmmaSbT．题型一等差数列基本量的计算策略方法解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．【典例1】在等差数列中，533a，45153a，则201是数列的第几项（）A．59B．60C．61D．62【典例2】在等差数列na中，4820aa，712a，则4a的值为（）A．2B．6C．8D．12【题型训练】一、单选题1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知na为等差数列，211032,4aaaa，则5a二、题型分类精讲（）A．1B．2C．3D．42．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列na满足214a，124a，则23a（）A．5B．7C．9D．113．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在等差数列na中，21a，45a，则8a=（）A．9B．11C．13D．154．（2023·广西·统考模拟预测）设na为等差数列，若31421,5aaa，则公差d（）A．－2B．－1C．1D．25．（2023·四川凉山·三模）在等差数列na中，242aa，53a，则9a（）．A．3B．5C．7D．96．（2023·西藏日喀则·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A．乙分到28文，丁分到24文B．乙分到30文，丁分到26文C．乙分到24文，丁分到28文D．乙分到26文，丁分到30文7．（2023·全国·高三专题练习）等差数列na满足74212aa，则81012aa（）A．6B．4C．3D．28．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知等差数列na满足1232nnaan，则na的前20项和20S（）A．200B．300C．210D．320二、填空题9．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）在等差数列na中，34512aaa，13618aaa，则na的公差是．10．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列na的公差为0dd，且满足3521aa，2440aa，则数列na的通项公式na．11．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）等差数列na中，18153120aaa，则9102aa的值是.12．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列na中471018aaa，681027aaa，若21ka，则k．13．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列na满足：14nnaan，若na为等差数列，则通项公式为．14．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列na中，264,16aa，若在数列na每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为.题型二等差数列的性质及其应用策略方法利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝na1＋an2中，Sn与a1＋an可相互转化．(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．【典例1】已知等差数列na中，31730aa，则91011aaa（）A．30B．40C．50D．45【典例2】已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是A．2B．3C．6D．9【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na是等差数列，若19177aaa，则315aa等于（）A．7B．14C．21D．7(n-1)2．（2023·全国·高三专题练习）如果等差数列na中，34512aaa，那么127aaa（）A．14B．12C．28D．363．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列na中，246aa，则12345aaaaa（）A．30B．15C．56D．1064．（2023·青海西宁·统考二模）已知na，nb均为等差数列，且36a，10b，21b，则数列nnab的前5项和为（）A．35B．40C．45D．505．（2023·全国·高三专题练习）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（）A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升6．（2023·陕西榆林·统考三模）一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（）A．2B．4C．1D．27．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）数列na是等差数列，若938aa，391113aa，则6a（）A．22B．4C．43D．238．（2023·全国·高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度为（）A．5.5尺B．4.5尺C．3.5尺D．2.5尺9．（2023·全国·高三专题练习）“3752aaa”是“数列na为等差数列”的（）．A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件10．（2023·全国·高三专题练习）公差不为零的等差数列na中，2526aa，则下列各式一定成立的是（）A．352aaB．354aaC．252aaD．254aa二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列na，11132aae，12a=12．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知等差数列na，261045aaaa，6a.13．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列na中，19491949a，10219212023aa，则74a.14．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列na中，310aa，是方程2350xx的根，则58aa＝.15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足112(2)nnnaaan，且25513aa，，则8a.题型三等差数列的前n项和策略方法在等差数列中，232，－，－nnnnnSSSSS，…仍成等差数列；{}nSn也成等差数列．【典例1】设nS是等差数列na的前n项和，已知36S，915S，则12S（）A．16B．18C．20D．22【典例2】已知nS为等差数列na的前n项和，728S，则4a的值为（）A．4B．7C．8D．9【题型训练】一、单选题1．（2023·江西赣州·统考二模）已知等差数列na中，nS是其前n项和，若3322aS，4415aS，则5a（）A．7B．10C．11D．132．（2023·全国·高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（）A．八层B．十层C．十一层D．十二层3．（2023·江西新余·统考二模）记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，若23aS，134aaS，则数列na的公差为（）A．2B．1C．2D．44．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（）个球．A．12B．20C．55D．1105．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从低到高站成一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（）A．5尺2寸B．5尺3寸C．5尺4寸D．5尺5寸6．（2023·全国·高三专题练习）记nS为等差数列na的前n项和．若264810,45aaaa，则5S（）A．25B．22C．20D．157．（2023·陕西安康·统考三模）已知等差数列na的前n项和为nS，344aa，则6S（）A．6B．12C．18D．248．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）在等差数列{an}中，a3+2a5+a9=10，则数列{an}前10项的和为（）A．20B．24C．25D．289．（2023·全国·高三专题练习）在项数为m的等差数列na中，其前3项的和为12，最后3项的和为288，所有项的和为850，则m（）A．16B．17C．19D．2110．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）设nS为正项等差数列na的前n项和．若202320