第29讲 等比数列（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第29讲等比数列（精讲）题型目录一览①等比数列基本量的计算②等比数列的性质及其应用③等比数列的前n项和④等比数列中中na与nS的关系⑤等比数列的函数特性⑥等比数列的判定与证明一、等比数列的有关概念1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为1=nnaqa．2.等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒2Gab．二、等比数列的有关公式1.等比数列的通项公式设等比数列{}na的首项为1a，公比为(0)qq，则它的通项公式1111()(,0)nnnaaaqcqcaqq．推广形式：－nmmnaaq2.等比数列的前n项和公式等比数列{}na的公比为(0)qq，其前n项和为111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq注：①在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分1q与1q两种情况讨论求解．一、知识点梳理②111(1)(0,1)111nnnnaqaaSqkqkkqqqq，nS为关于nq的指数型函数，且系数与常数互为相反数．三、等比数列的性质1.等比中项的推广．若mnpq时，则mnpqaaaa，特别地，当2mnp时，2mnpaaa．（2）①设{}na为等比数列，则{}na（为非零常数），{}na，{}mna仍为等比数列．②设{}na与{b}n为等比数列，则{b}nna也为等比数列．2.等比数列{}na的单调性（等比数列的单调性由首项1a与公比q决定）．当101aq或1001aq时，{}na为递增数列；当1001aq或101aq时，{}na为递减数列．3.其他衍生等比数列．若已知等比数列{}na，公比为q，前n项和为nS，则：①等间距抽取2(1),,,,pptptpntaaaa为等比数列，公比为tq．②等长度截取232,,,mmmmmSSSSS为等比数列，公比为mq（当1q时，m不为偶数）．【常用结论】1.若*2()，，，，mnpqkmnpqkN，则2＝＝mnpqkaaaaa．2.若{}na，{}nb（项数相同）是等比数列，则{}(0)na，1{}na，2{}na，{}nnab，{}nnab仍是等比数列．3.在等比数列{}na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即23＋＋＋，，，nnknknkaaaa为等比数列，公比为kq．4.公比不为－1的等比数列{}na的前n项和为nS，则nS，2nnSS，32nnSS仍成等比数列，其公比为nq．二、题型分类精讲题型一等比数列基本量的计算题型一等比数列基本量的计算策略方法等比数列基本量运算的解题策略等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．【典例1】（单选题）已知各项均为正数的等比数列na中，1310aa，5758aa，则该数列的公比为（）A．2B．1C．12D．14【题型训练】一、单选题1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知等比数列na满足11a，53a，则3a（）A．9B．3C．3D．32．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知等比数列na的各项均为正数，公比12q，且25132aa，则6a（）A．164B．132C．116D．183．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设na是等比数列，且121aa，322aa，则45aa（）A．8B．-8C．4D．-44．（2023春·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列na中，13a，1239aaa，则456aaa等于（）A．9B．72C．9或70D．9或725．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若2mn，则kl=（）A．400B．500C．600D．8006．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知1a，2a，3a，4a，5a成等比数列，且2和8为其中的两项，则5a的最小值为（）A．64B．16C．164D．1167．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知na是等比数列，则“471427aaaa”是“数列na的公比为3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列nan为等比数列，且42a，816a，则10a（）A．30B．30C．40D．409．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列na中，3416aa，564aa，则使得1na成立的n的最小值为（）A．7B．8C．9D．1010．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正项等比数列na满足312aa，则43aa的最小值是（）A．4B．9C．6D．8二、填空题11．（2023·四川成都·三模）在等比数列na中，若263,27aa，则8a的值为．12．（2023·江西·统考模拟预测）已知数列na满足212nnnaaa，若141,93aa，则6a．13．（2023·浙江·二模）已知等比数列na满足114nnnaaa，则公比q.14．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知各项均为正数的等比数列na满足11a，且24328aaa，则na15．（2023·全国·高三专题练习）若数列na是公比为2的等比数列，763aa，写出一个满足题意的通项公式na.16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na是等比数列，且0na，nN，354657281aaaaaa，则46aa．题型二等比数列的性质及其应用策略方法应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质．(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(Sn≠0)成等比数列求解．【典例1】（单选题）在正项等比数列na中，2610aa，44a，则na的公比q（）A．2B．2C．2或12D．2或22【典例2】（单选题）“2213bbb”是“1b，2b，3b成等比数列”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列na中，2345674,16aaaaaa，则8910aaa（）A．4B．8C．32D．642．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列na中，若23691032aaaaa，则2912aa的值为（）A．4B．2C．2D．43．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知正项等比数列na，若355664,28aaaa，则2a（）A．16B．32C．48D．644．（2023·贵州·校联考模拟预测）在等比数列na中，132aa，5718aa，则35aa（）A．3B．6C．9D．185．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知na为递增的等比数列，且满足34a，151158aa，则7a（）A．12B．1C．16D．326．（2023·全国·高三专题练习）已知递增的等比数列na中，前3项的和为7，前3项的积为8，则4a的值为（）A．2B．4C．6D．87．（2023·重庆·校联考三模）已知na是等差数列，nb是等比数列，若2464πaaa，24633bbb，则1726tan1aabb（）A．3B．33C．33D．38．（2023·全国·高三专题练习）等比数列4+x，10+x，20+x的公比为（）A．12B．43C．32D．539．（2023·浙江·高三专题练习）已知na是公差不为0的等差数列，12a，若137,,aaa成等比数列，则2023a（）A．2023B．2024C．4046D．404810．（2023·山东济南·校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列na满足：2781aaa，且248,,aaa成等比数列，则2023a（）A．2023B．2023C．0D．1202311．（2023·全国·高三专题练习）已知递增等差数列{}na中，618a且2a是1a，4a的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（）A．180B．198C．189D．168二、多选题12．（2023·全国·高三专题练习）在正项等比数列{}na中，公比为q，已知1234561234,12,324nnnaaaaaaaaa，下列说法正确的是（）A．23qB．324aC．4623aaD．12n13．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列na的各项均为正数，公比为q，且189891,12aaaaa，记na的前n项积为nT，则下列选项中正确的选项是（）A．1qB．81aC．161TD．171T三、填空题14．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列na是等比数列，且17138aaa，则311aa．15．（2023·河北·校联考三模）若数列1,,4,8,ab为等比数列，则logab．16．（2023·河北·统考模拟预测）若数列na为等比数列，1176aa，5136aa，则9a．17．（2023·全国·高三专题练习）等比数列na中，19256aa，4640aa，则公比q的值为.18．（2023春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知数列na为等差数列．nb为等比数列，且1133552,4,8ababab成等差数列．则3724bbb．19．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）已知数列na是等比数列，若数列1na的前4项和为53，且131153aa，则1a.题型三等比数列的前n项和策略方法等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论：当1q时，1nSna；当1q时，11(1)=11nnnqSaaqaqq．【典例1】（单选题）等比数列na的各项均为实数，其前n项和为nS，已知367,63SS，则7a（）A．4B．16C．32D．64【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列na中，11,naS为na前n项和，5354SS，则4S（）A．7B．9C．15D．302．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列na满足21143,1nnnaaaa，则5S（）A．40B．81C．121D．1563．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考期末）记nS为等比数列na的前n项和，若45S，6221SS，则8S（）．A．120B．85C．85D．1204．（2023·湖南长沙·周南中学校考二