第29练 等比数列（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第29练等比数列（精练）一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）记nS为等比数列na的前n项和，若45S，6221SS，则8S（）．A．120B．85C．85D．120【答案】C【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据48,SS的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列na的公比为q，首项为1a，若1q，则405S，与题意不符，所以1q；若1q，则611263230SaaS，与题意不符，所以1q；由45S，6221SS可得，41151aqq，6211112111aqaqqq①，由①可得，24121qq，解得：24q，所以8S8411411151168511aqaqqqq．故选：C．方法二：设等比数列na的公比为q，因为45S，6221SS，所以1q，否则40S，从而，2426486,,,SSSSSSS成等比数列，所以有，22225215SSS，解得：21S或254S，当21S时，2426486,,,SSSSSSS，即为81,4,16,21S，易知，82164S，即885S；当254S时，2241234122110SaaaaaaqqS，与45S矛盾，舍去．刷真题明导向故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,SS的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．2．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列na的各项均为正数，前n项和nS，若11a，5354SS，则4S（）A．158B．658C．15D．40【答案】C【分析】根据题意列出关于q的方程,计算出q,即可求出4S.【详解】由题知23421514qqqqqq,即34244qqqq,即32440qqq,即(2)(1)(2)0qqq.由题知0q,所以2q=.所以4124815S.故选:C.3．（2023·天津·统考高考真题）已知na为等比数列，nS为数列na的前n项和，122nnaS，则4a的值为（）A．3B．18C．54D．152【答案】C【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得4a的值.【详解】由题意可得：当1n时，2122aa，即1122aqa，①当2n时，31222aaa，即211122aqaaq，②联立①②可得12,3aq，则34154aaq.故选：C.4．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列na的前3项和为168，2542aa，则6a（）A．14B．12C．6D．3【答案】D【分析】设等比数列na的公比为,0qq，易得1q，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列na的公比为,0qq，若1q，则250aa，与题意矛盾，所以1q，则31123425111168142aqaaaqaaaqaq，解得19612aq，所以5613aaq.故选：D.5．（2021·全国·高考真题）记nS为等比数列na的前n项和.若24S，46S，则6S（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【分析】根据题目条件可得2S，42SS，64SS成等比数列，从而求出641SS，进一步求出答案.【详解】∵nS为等比数列na的前n项和，∴2S，42SS，64SS成等比数列∴24S，42642SS∴641SS，∴641167SS.故选：A.二、填空题6．（2023·全国·统考高考真题）记nS为等比数列na的前n项和．若6387SS，则na的公比为．【答案】12【分析】先分析1q，再由等比数列的前n项和公式和平方差公式化简即可求出公比q.【详解】若1q，则由6387SS得118673aa，则10a，不合题意.所以1q.当1q时，因为6387SS，所以6311118711aqaqqq，即638171qq，即33381171qqq，即3817q，解得12q.故答案为：127．（2023·全国·统考高考真题）已知na为等比数列，24536aaaaa，9108aa，则7a.【答案】2【分析】根据等比数列公式对24536aaaaa化简得11aq，联立9108aa求出32q，最后得55712aaqqq.【详解】设na的公比为0qq，则3252456aqaaqaaaa，显然0na，则24aq，即321aqq，则11aq，因为9108aa，则89118aqaq，则3315582qq，则32q，则55712aaqqq，故答案为：2.8．（2022·北京·统考高考真题）已知数列na各项均为正数，其前n项和nS满足9(1,2,)nnaSn．给出下列四个结论：①na的第2项小于3；②na为等比数列；③na为递减数列；④na中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】推导出199nnnaaa，求出1a、2a的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，Nn，0na，当1n时，219a，可得13a；当2n时，由9nnSa可得119nnSa，两式作差可得199nnnaaa，所以，199nnnaaa，则2293aa，整理可得222390aa，因为20a，解得235332a，①对；假设数列na为等比数列，设其公比为q，则2213aaa，即2213981SSS，所以，2213SSS，可得22221111aqaqq，解得0q，不合乎题意，故数列na不是等比数列，②错；当2n时，1119990nnnnnnnaaaaaaa，可得1nnaa，所以，数列na为递减数列，③对；假设对任意的Nn，1100na，则10000011000001000100S，所以，1000001000009911000100aS，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.【A组在基础中考查功底】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na为递减的等比数列，nN，且2732aa，3618aa，则na的公比为（）A．12B．3512C．352D．2【答案】A【分析】由等比数列下标和性质，结合数列单调性可求得36,aa，根据等比数列通项公式可求得结果.【详解】na为递减的等比数列，2736363218aaaaaa，解得：36216aa（舍）或36162aa，na的公比63312aqa.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（）A．7里B．8里C．9里D．10里【答案】A【分析】由“每天走的路程为前一天的一半”可知这个人每天走的路程是等比数列，再根据等比数列求和公式得出答案.【详解】设第六天走的路程为1a，第五天走的路程为2a……第一天走的路程记为6a，根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比2q=，且6441S，616(1)1aqSq，所以61(12)44112a，从而解得17a，故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列na的前n项积为nT，116a，公比12q，则nT取最大值时n的值为（）A．3B．6C．4或5D．6或7【答案】C【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到29812422nnT，求出答案.【详解】1141511162222nnnnnaaq，故2298145924435435222122222222nnnnnnnnnTaaa，因为Nn，所以4n或5时，nT取得最大值.故选：C4．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列na中，13a，312a，22a成等差数列，则q（）A．1B．3C．1或3D．1.或3【答案】B【分析】根据等差中项的性质得到方程，再解方程即可.【详解】设公比为q0q，因为13a，312a，22a成等差数列，所以12313222aaa，即211132aaqaq，显然10a，所以232qq，解得3q或1q（舍去）.故选：B.5．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）在等比数列na中，已知1394,256aaa，则8a等于（）A．128B．64C．64或64D．128或128【答案】D【分析】由等比数列的性质可得21324aaa，求出2a的值，再结合条件求出公比，进而即得.【详解】由等比数列的性质可得21324aaa，∴22a或22a，设数列的公比为q，因为9256a，当22a时，7128q，即2q=，则8128a；当22a时，7128q，即2q，则8128a.故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是（）A．224里B．214里C．112里D．107里【答案】A【分析】由题意每天行程{}na是公比为12的等比数列，应用等比数列前n项和公式求首项，即得到结果.【详解】由题设，每天行程{}na是公比为12的等比数列，所以161(1)2441112a，可得1224a，则第一天走的路程224里.故选：A7．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知等比数列na满足62a，且759,,aaa成等差数列，则4a（）A．2B．1C．1D．2【答案】D【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可.【详解】设na的公比为q，则3367659622,,2aaaqqaaaqqqq．由759,,aaa成等差数列，得7952aaa，即3422qqq，于是422220,210qqqq，故21q，从而6422aaq．故选：D8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知数列na为等比数列，公比0,1a，若3520aa，2664aa，则3a（）A．4B．8C．16D．32【答案】C【分析】易得3564aa，从而得到35,aa是方程220640xx的