第31讲 基本立体图形及几何体的表面积与体积（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第31讲基本立体图形及几何体的表面积与体积（精讲）题型目录一览①空间几何体的结构特征②空间几何体的表面积③空间几何体的体积一、构成空间几何体的基本元素（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．二、简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．一、知识点梳理简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．四、组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．五、表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体2直棱柱底SchS2(斜棱柱底SclSc为直截面周长)2222()圆锥Srrlrrl锥体12正棱锥底SnahS2()圆锥Srrlrrl台体1()2正棱台上下SnaahSS22)圆台（Srrrlrl球24SR体积公式体积柱体柱VSh锥体13锥VSh台体1()3台VSSSSh球343VR六、空间几何体的直观图1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系．（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x轴的线段，在直观Sh图中画成平行于Ox，Oy，使45xOy（或135），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．注：直观图和平面图形的面积比为2:4．2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．题型一空间几何体的结构特征策略方法需要熟悉几何体的基本概念.【典例1】（单选题）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）A．（2）（5）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（1）（5）【答案】D【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.【详解】当截面ABCD如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示；当截面ABCD如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状；二、题型分类精讲故选：D【典例2】（单选题）将表面积48π的圆锥沿母线将侧面展开，得到一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A．183B．182C．242D．243【答案】C【分析】根据圆锥的表面积公式，利用侧面展开图扇形的几何性质，结合弧度的定义以及勾股定理，可得答案.【详解】设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，如下图所示：则圆锥的侧面展开得到的扇形的弧长为2πr，半径为l，由扇形的圆心角为2π3，则2π2π3rl，解得3lr，由圆锥的表面积公式可得其表面积2ππSrrl，由圆锥表面积为48π，3lr，则2248ππ3πrr，解得212r，由勾股定理可得2222922hlrrrr，已知轴截面的面积212222422Srhr.故选：C.【典例3】（单选题）圆台12OO母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值为（）A．15114B．274C．272D．以上都不对【答案】C【分析】求出轴截面时所补成的等腰三角形的顶角的余弦值，则判断其为钝角，再计算出截面积的表达式，得到最值.【详解】由题意作出轴截面ABCD，并将其补充成等腰三角形ABE，根据1//,2DCABDCAB，则DC为三角形ABE的中位线，则3DEECAD，在ABE中利用余弦定理得22266107cos26618AEB，因为0,AEB，所以,2AEB，过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形，并将其补成的等腰三角形，设其顶角为，则112766sin33sinsin222S截面，因为0，且maxAEB，则当2时，S截面的最大值为272.故选：C.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆柱、一个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．一个圆台、一个圆柱D．两个圆柱、一个圆台【答案】A【分析】将直角梯形分割成一个矩形和一个直角三角形，结合旋转体的形成即可求解.【详解】直角梯形ABCD分割成一个矩形和一个直角三角形，矩形绕其一边旋转一周得圆柱，直角三角形绕其直角边旋转一周得圆锥，可得几何体为：一个圆柱、一个圆锥.故选：A2．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【答案】D【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形.【详解】如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形，故选:D.3．（2023·全国·高三专题练习）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（）①矩形②圆③椭圆④部分抛物线⑤部分椭圆A．②③⑤B．①②③④⑤C．①②③⑤D．①②③④【答案】C【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论【详解】当圆柱桶竖直放置时，截口曲线为圆；当圆柱桶水平放置时，截口曲线为矩形；当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则截口曲线为椭圆的一部分；当圆柱桶倾斜放置时，若液面不经过底面，则截口曲线为椭圆；故选：C4．（2023·安徽淮北·统考一模）如图所示，在三棱台ABCABC中，沿平面ABC截去三棱锥AABC，则剩余的部分是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体【答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台ABCABC中，沿平面ABC截去三棱锥AABC，剩余的部分是以A为顶点，四边形BCCB为底面的四棱锥ABCCB．故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体1111ABCDABCD中，E，F，G分别是AB，1BB，11BC的中点，则过这三点的截面图的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.【详解】分别取11DC、1DD、AD的中点H、M、N，连接GH、HM、MN，在正方体1111ABCDABCD中，E，F，G分别是AB，1BB，11BC的中点，//HGEN，//HMEF，//FGMN，六边形EFGHMN是过E，F，G这三点的截面图，过这三点的截面图的形状是六边形．故选：D6．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的43倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（）A．8B．47C．37D．36【答案】A【分析】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为()0π，则根据题意可得l与r的关系，从而可求出为钝角，由此可得当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，然后可求得结果.【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为()0π，则24ππ3rlr，得43lr，所以32πsinsin2424rl，因为2为锐角，所以ππ422，即ππ2，则θ为钝角，所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为22114822l.故选：A.7．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬090（即地球球心O和该地的连线与赤道平面所成的角为），且7sin4.若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为（）A．6万里B．27万里C．26万里D．7万里【答案】A【分析】计算出地球的半径，可求得某地随着地球自转所形成圆的半径，再利用圆的周长公式可求得结果.【详解】由题意可知，赤道周长为8万里，则地球半径82πr万里.设某地随着地球自转，所形成圆的半径为0r，则208833cos1sin2π2π4πrr万里，则该圆的周长02π6lr万里.故选：A.8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（）A．π3B．π2C．2π3D．π【答案】C【分析】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，求出小圆锥的母线长后可得展开图圆心角．【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为6x，由相似得163xx，即3x，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为2π12π33.故选：C．9．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）如下图所示，在正方体1111ABCDABCD中，如果点E是1AA的中点，那么过点1D、B、E的截面图形为（）A．三角形B．矩形C．正方形D．菱形【答案】D【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.【详解】分别取11,BBCC的中点,GF，连接11,,,AGBFDFGF，如图1DEBF即为过点1D、B、E截正方体所得的截面图形，由题意可知：1//AEGB且1AEGB，所以四边形1AEBG为平行四边形，所以1//AGEB，又因为11//GFBC且11GFBC，1111//ADBC且1111ADBC，所以11//ADGF且11ADGF，所以