第32练 空间点、直线、平面间的位置关系（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第32练空间点、直线、平面间的位置关系（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题1．若直线l是平面的一条斜线，则在平面内与l垂直的直线（）A．有且只有一条B．有无数条C．有且只有两条D．不存在【答案】B【分析】依题意画出图形，即可判断.【详解】如图设斜线l与平面交于点A，在平面内过点A作直线al，则在平面内所有与直线a平行的直线均与直线l垂直，故在平面内与l垂直的直线有无数条.故选：B2．下列命题错误的是（）A．不共线的三点确定一个平面B．一条直线和直线外一点，可确定一个平面C．梯形可确定一个平面D．圆心和圆上两点可确定一个平面【答案】D【分析】由平面的基本性质判断.【详解】A.由平面的基本性质知：不共线的三点确定一个平面，故正确；B.由平面的基本性质的推论知：一条直线和直线外一点，可确定一个平面，故正确；C.梯形有一组对边平行，由平面的基本性质的推论知：梯形可确定一个平面，故正确；D.由平面的基本性质知：当圆心和圆上两点共线时，不能确定平面，故错误；故选：D3．如图所示，用符号语言可表达为（）A．m，n，mnAB．m，n，mnAC．m，n，Am，AnD．m，n，Am，An【答案】A【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．【详解】如图所示，两个平面与相交于直线m，直线n在平面内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为m，n，mnA，故选：A．4．如图，在正方体1111ABCDABCD中，异面直线AC与11BD所成的角为（）A．6B．4C．3D．2【答案】D【分析】由异面直线所成角的概念求解，【详解】由题意，正方体中得11//BDBD，故异面直线AC与11BD所成的角，即正方形对角线AC与BD的夹角2，故选：D5．已知ABC，，表示不同的点，l表示直线，，表示不同的平面，则下列推理中错误的是（）A．AlABlBl，，，B．AABBAB，，，C．ABl，，直线AB与直线l是异面直线D．AAlllA，，【答案】C【分析】根据点、线、面的位置关系，结合公理1和公理3逐一对A、B、C、D四个选项作出判断即可.【详解】对A，利用公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上的所有点都在这个平面内，故A正确；对B，根据公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公点的集合是一条过该点的公共直线，故B正确；对C，直线l与点AB，，则不能判断直线AB与直线l的位置关系，故C不正确；对D，直线l与平面内有公共点A，又l，则直线l与平面只能相交，故D正确.故选：C6．三条直线两两相交，最多可以确定平面（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据题意，画出图形，结合公理2，即可得出答案.【详解】在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面.如图，,,PAPBPC相交于一点P，且,,PAPBPC不共面，则,PAPB确定一个平面PAB，,PBPC确定一个平面PBC，,PAPC确定一个平面PAC.故选：C.7．已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中a，b，c，且abP，则下列结论一定成立的是（）A．b与c是异面直线B．a与c没有公共点C．//bcD．bcP【答案】D【分析】根据题设条件可得相应的空间图形，从而可得正确的选项.【详解】∵abP，∴Pa，Pb，∵a，b，∴P，P，P，∵c，∴Pc，∴bcP，∴acP，如图所示：故A，B，C错误；故选：D．8．下列说法正确的是（）A．一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行B．和同一条直线都相交的两条直线一定相交C．经过空间中三个点有且只有一个平面D．经过两条相交直线有且只有一个平面【答案】D【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面可能相交也可能平行，例如在正方体中,平面11CDDC中的点1,,CCM到平面11ADDA的距离均相等，但是平面11CDDC与平面11ADDA相交，不平行，故A错误，对于B,和同一条直线都相交的两条直线不一定相交，例如正方体中,CDAB均与BC相交，但是,CDAB不相交，故B错误，对于C，经过空间中三个不共线的点有且只有一个平面，故C错误，对于D,两条相交直线可以确定一个平面,因此经过两条相交直线有且只有一个平面，故D正确，故选：D9．在以下四个图中，直线a与直线b平行的位置关系只能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由平面α，β内的两直线的位置关系，判断直线a与直线b平行是否能够平行.【详解】解：选项A中，平面α，β内的两直线异面，则a与b异面；选项B中，平面α，β内的两直线异面，则a与b异面；选项C中，平面α，β内的两直线异面，则a与b异面；选项D中，平面α，β内的两直线相交，两相交直线可以确定一个平面，则a与b相交或平行，由图可知，a与b平行．故选：D．10．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是（）A．梯形B．空间四边形C．正方形D．有一内角为60°的菱形【答案】C【分析】根据已知，结合图形，利用三角形中位线的性质以及等角定理进行判断.【详解】因为点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，所以//FGBD，//EHBD，//HGAC，//EFAC,所以//EHFG，//HGEF，所以四边形EFGH是平行四边形，又AC与BD所成角的大小为90°，所以HG与FG所成角的大小为90°，即FGHG，所以四边形EFGH是矩形，又AC＝BD，12FGBD，12HGAC，所以FGHG，所以四边形EFGH是正方形，故A，B，D错误.故选：C.11．在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是AB，11BD的中点，则直线EF与直线1AA所成角的正切值为（）A．12B．13C．22D．33【答案】A【分析】取BD的中点G，直线EF与直线1AA所成的角为EFG，在EFG中求其正切值即可.【详解】如图，取BD的中点G，连接EG，FG，则1//AAFG，且1AAFG故直线EF与直线1AA所成的角为EFG.因为1AA面ABCD，EG面ABCD，所以1AAEG，FGEG，设12AAFGa，12EGADa，则1tan2EGEFGFG.故选：A12．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA，1BB，1CC，1DD均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB与1CD所成角的余弦值为（）A．45B．35C．45D．34【答案】A【分析】根据异面直线的夹角运算求解.【详解】设11111,ABCDOABCDOII，分别延长11,DCDC到E，E1，使得111111,OEOCCDOEOCCD，连接1111,,,,EEOOBOEOBE，可得1AB//1BO，1EO//1CD，则异面直线1AB与1CD所成角1BOE（或其补角），则115,2BOEOBE，在1BEO中，由余弦定理可得222111115524cos25255BOEOBEBOEBOEO，即异面直线1AB与1CD所成角的余弦值为45.故选：A.13．如图，l，,AB，C，且Cl，直线ABlM，过,,ABC三点的平面记作，则与的交线必通过（）A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M【答案】D【分析】利用点线面的位置关系证得MC与MC，从而得到MC，据此解答即可.【详解】对于AB，易得,AB，故必不在与的交线上，故AB错误；对于CD，因为过,,ABC三点的平面记作，所以面ABC与是同一个面，因为直线ABlM，所以MAB面ABC，则M，又C面ABC，则C，所以MC；因为ABlM，l，所以Ml，又C，所以MC，所以MC，所以与的交线必通过点C和点M，故C错误，D正确.故选：D．14．已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误.【详解】在A图中，分别连接,,,PSQRABCD，由正方体可得四边形ABCD为矩形，则//ABCD，因为,PS为中点，故//PSAB，则//PSQR，所以,,,PSRQ四点共面.在B图中，设,EF为所在棱的中点，分别连接,,,,,PSSRRFFQEQPE，由A的讨论可得//PSER，故,,,PSER四点共面，同理可得//ERQF，故//PSQF，同理可得//EPRF，//SREQ故F平面PRS，Q平面PRS，所以,,,,,PSRQEF六点共面.在C图中，由,PQ为中点可得//PQAB，同理//RSAB，故//PQRS，所以,,,PSRQ四点共面.在D图中，,PQRS为异面直线，故选：D.15．如图，在正三棱柱111ABCABC-中，若12ABBB则1AC与1BC所成角的大小为（）A．135B．105C．90D．60【答案】C【分析】分别取111,,CCBCAC的中点,,DEF，连接,,DEDFEF，把异面直线1AC与1BC所成的角转化为直线DE与DF所成的角，在DEF中，结合余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，分别取111,,CCBCAC的中点,,DEF，连接,,DEDFEF，可得1//DEBC且1//DFAC，所以异面直线1AC与1BC所成的角，即为直线DE与DF所成的角，设EDF，因为三棱柱111ABCABC-为正三棱柱，且12ABBB，不妨设14,22ABBB，在直角CDF中，可得2222(2)26DFCDCF，在直角1CDE△中，可得222211(2)26DECDCE，再取BC的中点M，连接,EMFM，可得1//EMBB，因为1BB底面ABC，所以EM底面ABC，在直角EFM△中，可得22222(22)23EFFMEM，所以2226612cos02266DEDFEFDEDF，所以90，所以异面直线1AC与1BC所成的角为90.故选：C.二、多选题16．下列说法错误的有（）A．三点确定一个平面B．平面外两点A、B可确定一个平面与平面平行C．三个平面相交，交线平行D．棱台的侧棱延长后必交与一点【答案】ABC【分析】利用平面的基本性质判断选项A；举反例判断选项BC；利用棱台的定义判断选项D即得解.【详解】A.不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，所以该选项错误；B.平面外两点A、B在平面的垂线上，则经过A、B不能确定一个平面与平面平行，所以该选项错误；C.三个平面相交，交线不一定平行，如三棱锥的三个侧面，所以该选项错误；D.棱台的侧棱延长后必交与一点，所以该选项正确.故选：ABC17．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）A．平行于同一条直线的两条直线必平行B．垂直于同一条直线的两条直线必平行C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补【答案】AC【分析】根据线线平行传递性和课本中的定理可判断AC正确；垂直