第34练 空间直线、平面的垂直（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第34练空间直线、平面的垂直（精练）一、解答题1．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，13PAABBCPC，．(1)求证：BC平面PAB；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PABC，再利用勾股定理证得BCPB，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；【详解】（1）因为PA平面,ABCBC平面ABC，所以PABC，同理PAAB，所以PAB为直角三角形，又因为222PBPAAB，1,3BCPC，所以222PBBCPC，则PBC为直角三角形，故BCPB，又因为BCPA，PAPBP，所以BC平面PAB.2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AC平面,90ABCACB．刷真题明导向(1)证明：平面11ACCA平面11BBCC；【答案】(1)证明见解析.【分析】(1)由1AC平面ABC得1ACBC，又因为ACBC，可证BC平面11ACCA，从而证得平面11ACCA平面11BCCB；【详解】（1）证明：因为1AC平面ABC，BC平面ABC,所以1ACBC,又因为90ACB，即ACBC，1,ACAC平面11ACCA，1ACACC,所以BC平面11ACCA，又因为BC平面11BCCB,所以平面11ACCA平面11BCCB.3．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，60ADBADC，E为BC的中点．(1)证明：BCDA；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）根据题意易证BC平面ADE，从而证得BCDA；【详解】（1）连接,AEDE，因为E为BC中点，DBDC，所以DEBC①，因为DADBDC，60ADBADC，所以ACD与ABD△均为等边三角形，ACAB，从而AEBC②，由①②，AEDEE，,AEDE平面ADE，所以，BC平面ADE，而AD平面ADE，所以BCDA．4．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，//ABDC，//DCEF，5AB，3DC，1EF，60BADCDE，二面角FDCB的平面角为60．设M，N分别为,AEBC的中点．(1)证明：FNAD；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H，由平面知识易得FCBC，再根据二面角的定义可知，60BCF，由此可知，FNBC，FNCD，从而可证得FN平面ABCD，即得FNAD；【详解】（1）过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H．∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，//,//,5,3,1ABDCCDEFABDCEF，60BADCDE，由平面几何知识易知，2,90DGAHEFCDCFDCBABC，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，∴在RtEGD和RtDHA，23EGDH，∵,DCCFDCCB，且CFCBC，∴DC平面,BCFBCF是二面角FDCB的平面角，则60BCF，∴BCF△是正三角形，由DC平面ABCD，得平面ABCD平面BCF，∵N是BC的中点，FNBC，又DC平面BCF，FN平面BCF，可得FNCD，而BCCDC，∴FN平面ABCD，而AD平面ABCDFNAD．5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED平面ACD；【答案】(1)证明详见解析【分析】（1）通过证明AC平面BED来证得平面BED平面ACD.【详解】（1）由于ADCD，E是AC的中点，所以ACDE.由于ADCDBDBDADBCDB，所以ADBCDB△△，所以ABCB，故ACBE，由于DEBEE，,DEBE平面BED，所以AC平面BED，由于AC平面ACD，所以平面BED平面ACD.6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥PABCD中，PD底面,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP∥．(1)证明：BDPA；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）作DEAB于E，CFAB于F，利用勾股定理证明ADBD，根据线面垂直的性质可得PDBD，从而可得BD平面PAD，再根据线面垂直的性质即可得证；【详解】（1）证明：在四边形ABCD中，作DEAB于E，CFAB于F，因为//,1,2CDABADCDCBAB，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以12AEBF，故32DE，223BDDEBE，所以222ADBDAB，所以ADBD，因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD，又=PDADD，所以BD平面PAD，又因为PA平面PAD，所以BDPA；7．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED平面ACD；【答案】(1)证明过程见解析【分析】（1）根据已知关系证明ABDCBD≌△△，得到ABCB，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；【详解】（1）因为ADCD，E为AC的中点，所以ACDE；在ABD△和CBD△中，因为,,BACDCDADBDBDBD，所以ABDCBD≌△△，所以ABCB，又因为E为AC的中点，所以ACBE；又因为,DEBE平面BED，DEBEE，所以AC平面BED，因为AC平面ACD，所以平面BED平面ACD.8．（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC．（1）证明：平面QAD平面ABCD；【答案】（1）证明见解析；【分析】（1）取AD的中点为O，连接,QOCO，可证QO平面ABCD，从而得到面QAD面ABCD.【详解】（1）取AD的中点为O，连接,QOCO.因为QAQD，OAOD，则QOAD，而2,5ADQA，故512QO.在正方形ABCD中，因为2AD，故1DO，故5CO，因为3QC，故222QCQOOC，故QOC为直角三角形且QOOC，因为OCADO，故QO平面ABCD，因为QO平面QAD，故平面QAD平面ABCD.9．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB（1）证明：BFDE；【答案】（1）证明见解析；【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BFABABAB，所以BFAB．又因为1ABBB，1BFBBB，所以AB平面11BCCB．又因为2ABBC，构造正方体1111ABCGABCG，如图所示，过E作AB的平行线分别与AGBC，交于其中点,MN，连接11,AMBN，因为E，F分别为AC和1CC的中点，所以N是BC的中点，易证1RtRtBCFBBN，则1CBFBBN．又因为1190BBNBNB，所以1190CBFBNBBFBN，．又因为111111,BFABBNABB，所以BF平面11AMNB．又因为ED平面11AMNB，所以BFDE．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABCABC-是直三棱柱，1BB底面ABC，1BBAB11//ABAB，11BFAB，BFAB，又1BBBFB，AB平面11BCCB．所以1,,BABCBB两两垂直．以B为坐标原点，分别以1,,BABCBB所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图．0,0,0,2,0,0,0,2,0,BAC1110,0,2,2,0,2,0,2,2BAC，1,1,0,0,2,1EF．由题设,0,2Da（02a）．因为0,2,1,1,1,2BFDEa，所以0121120BFDEa，所以BFDE．[方法三]：因为11BFAB，11//ABAB，所以BFAB，故110BFAB，0BFAB，所以11BFEDBFEBBBBD11=BFBDBFEBBB1BFEBBFBB11122BFBABCBFBB11122BFBABFBCBFBB112BFBCBFBB111coscos2BFBCFBCBFBBFBB121=52520255，所以BFED．10．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM．（1）证明：平面PAM平面PBD；【答案】（1）证明见解析；（2）23．【分析】（1）由PD底面ABCD可得PDAM，又PBAM，由线面垂直的判定定理可得AM平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM平面PBD；【详解】（1）因为PD底面ABCD，AM平面ABCD，所以PDAM，又PBAM，PBPDP，所以AM平面PBD，而AM平面PAM，所以平面PAM平面PBD．11．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；【答案】(1)证明见解析；(2)36.【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；【详解】（1）因为ABAD，O是BD中点，所以OABD，因为OA平面ABD，平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以OA平面BCD．因为CD平面BCD，所以OACD.【A组在基础中考查功底】一、单选题1．已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是（）A．α⊥β，m⊂βB．α∥β，n⊥βC．α⊥β，n∥βD．m∥α，n⊥m【答案】B【分析】n⊥α必有n平行α的垂线，或者n垂直α的平行平面，依次判定选项即可．【详解】α⊥β，m⊂β，不能说明n与α的关系，A错误；α∥β，n⊥β能够推出n⊥α，B正确；α⊥β，n∥β可以得到n与平面α平行、相交或在平面α内，所以C不正确；m∥α，n⊥m则n与平面α可能平行，所以D不正确．故选：B．2．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若//，m，n，则//mnB．若，m，n，则mnC．若m，n，，则mnD．若，，则//【答案】C【分析】ABD选项，可以举出反例，C选项，可以利用面面垂直的性质进行证明【详解】A选项，若//，m，n，则//mn或,mn异面，A错误；B选项，如图，满足，m，n，而//mn，故B错误；C选项，因为，设a，,bba，所以b，因为n，所以//bn，因为m，b，所以mb，则mn，C正确；D选项，如图，满足，，而，D错误.故选：C3．已知直线l平面，有以下几个判断：①若ml，则//m；②若m，则//ml；③若//m，则ml；④若//ml，则m；上述判断中正确的是（）A．①②③