第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第14讲导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）题型目录一览①导数的定义②导数的运算③导数中的切线问题Ⅰ-求在曲线上一点的切线方程④导数中的切线问题Ⅱ-求过一点的切线方程⑤导数中的切线问题Ⅲ-求参数的值(范围)★【文末附录-导数的概念及其意义和导数的运算思维导图】一、导数的概念和几何性质1.概念函数()fx在0xx处瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxyxx，我们称它为函数yfx在0xx处的导数,记作0()fx或0xxy．注：增量x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x的意义：x与0之间距离要多近有多近，即|0|x可以小于给定的任意小的正数；2.几何意义函数()yfx在0xx处的导数0()fx的几何意义即为函数()yfx在点00()Pxy，处的切线的斜率．二、导数的运算1.求导的基本公式基本初等函数导函数()fxc（c为常数）()0fx()afxx()aQ1()afxax()xfxa(01)aa，()lnxfxaa一、知识点梳理()log(01)afxxaa，1()lnfxxa()xfxe()xfxe()lnfxx1()fxx()sinfxx()cosfxx()cosfxx()sinfxx2.导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()fxgxfxgx；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx；（3）函数商的求导法则：()0gx，则2()()()()()[]()()fxfxgxfxgxgxgx．3.复合函数求导数复合函数[()]yfgx的导数和函数()yfu，()ugx的导数间关系为xuxyyu：【常用结论】1.在点的切线方程切线方程000()()()yfxfxxx的计算：函数()yfx在点00(())Axfx，处的切线方程为000()()()yfxfxxx，抓住关键000()()yfxkfx．2.过点的切线方程设切点为00()Pxy，，则斜率0()kfx，过切点的切线方程为：000()()yyfxxx，又因为切线方程过点()Amn，，所以000()()nyfxmx然后解出0x的值．（0x有几个值，就有几条切线）题型一导数的定义策略方法对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.【典例1】已知函数yfx在0xx处的导数01fx，则0002limxxxfxfx二、题型分类精讲（）．A．1B．1C．12D．2【答案】D【分析】根据题意由导数的定义即可得答案．【详解】根据题意，函数()yfx在0xx处的导数为0()1fx，而000000022lim2lim2()22xxxxxxfxffxffxxx，故选：D.【题型训练】一、单选题1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设fx为R上的可导函数，且0112lim2xffxx，则曲线yfx在点1,1f处的切线斜率为（）A．2B．-1C．1D．12【答案】C【分析】根据导数的定义，计算得到答案.【详解】0011211211limlim122xxffxffxfxx.故曲线yfx在点1,1f处的切线斜率为1.故选：C2．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数fx的导函数是fx，若02fx，则0001()()2limxfxxfxx（）A．12B．1C．2D．4【答案】B【分析】根据导数定义，将增量化成012x即可得到.【详解】因为02fx所以00000Δ0Δ011(Δ)()(Δ)()1122limlim()11Δ22Δ2xxfxxfxfxxfxfxxx故选：B二、填空题3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数32211fxxfxfx，则011lim2xfxfx______．【答案】5【分析】求出导函数，建立1f与1f的方程，求出1f，利用极限的运算及导数的定义求解即可.【详解】当1x时，1211fff，所以11112ff，又2216211621112fxxfxfxfxf，则11621112fff，解得101f，由定义可知，Δ0Δ0Δ11Δ1111limlim152Δ2(Δ1)12xxfxffxffxx.故答案为：5题型二导数的运算策略方法对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.【典例1】求下列函数的导数．(1)ln(21)yx；(2)sincosxyx；(3)2ln1yxx(4)1()23()()yxxx；(5)2cos+exyxxt（t为常数）；(6)3lnln(25)xyxx.【答案】(1)221yx(2)21cosy(3)2222ln11xxxy(4)231211yxx(5)12sin42exyxx(6)261ln25xyxx【分析】根据导数的运算法则即可求得导数.【详解】（1）由已知ln(21)yx，所以12212121yxxx（2）由已知sincosxyx，所以22222sincossincoscossin1coscoscosxxxxyx（3）由已知2ln1yxx，所以2222222ln1ln111xxxxxxxy（4）由已知32123()()()6116yxxxxxx所以231211yxx（5）由已知2cos+exyxxt，所以cocesesoxxyxxx11cossin2sine4e22xxyxxxxx（6）由已知3lnln(25)xyxx，令25ux，3tu，故lnlnxytx所以23321ln11ln3252525xxyuuxxtxxx所以23226251ln61ln2525xxxyxxxx【题型训练】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数（1）42356yxxx；（2）2sincos22xxxy；（3）2logyxx；（4）cosxyx.【答案】（1）3465yxx；（2）12ln2cos2xyx；（3）11ln2yx；（4）2sincosxxxyx.【分析】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出（1）（3）（4）的导数；利用二倍角公式化简（2）中的函数解析式，再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.【详解】（1）因为42356yxxx，所以3465yxx；（2）因为12sincos2sin222xxxxyx，所以12ln2cos2xyx；（3）因为2logyxx，所以11ln2yx；（4）因为cosxyx，所以22(sin)cos1sincosxxxxxxyxx.2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)221fxx；(2)ln41fxx；(3)322xfx(4)54fxx；【答案】(1)84x(2)441x(3)3232ln2x(4)5254x【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果.【详解】（1）因为2221441fxxxx，所以84fxx.（2）因为ln41fxx，所以441fxx.（3）因为322xfx，所以3232ln2xfx（4）因为54fxx，所以155254254fxxx3．（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：(1)2eaxbxy；(2)2sin(13)yx；(3)3cos2xyx；(4)ln1sinyx；(5)2lgsin2xyx；(6)221cosexxy．【答案】(1)2(2)eaxbxaxb(2)6cos(13)x(3)231cos2sin22ln213xxxxx(4)cos2(1sin)xx(5)22cos122lge2sin2xxxxx(6)22(1)1sin2eexxxx【分析】根据复合函数求导公式及运算法则，结合基本函数求导公式求解即得.【详解】（1）因为函数2eaxbxy可以看做函数euy和2uaxbx的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xuxyyu2euaxbxe2uaxb2(2)eaxbxaxb；（2）因为函数2sin(13)yx可以看做函数2siny和13ux的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xuxyyu2sin13x2cos36cos(13)x；（3）因为函数3cos2xyx可以看做函数3yu和cos2xux的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xuxyyu，又因为函数cos2xux可以看做函数cost和2xtx的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xtxt所以xutxyyut3cos2xtx231sin2ln213xt231cos2sin22ln213xxxxx231cos2sin22ln213xxxxx；（4）函数ln1sinyx可化为1ln1sin2yx因为函数1ln1sin2yx可以看做函数1ln2y和1sinux的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xuxyyu，所以xuxyyu1ln1sin2x1cos2xcos2(1sin)xx；（5）因为函数2lgsin2xyx可以看做函数lgyu和2sin2xux的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xuxyyu，又因为函数2sin2xux可以看做函数sint和22xtx的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xtxt所以xutxyyut2lgsin2xtx11cos2ln102tx22cos122lge2sin2xxxxx；（6）函数221cosexxy可化为211cos2e2xxy，因为函数2221cose2xxy可以看做函数