第17讲 任意角和弧度制及三角函数的概念（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第17讲任意角和弧度制及三角函数的概念（精讲）题型目录一览①象限角和终边相同的角②扇形弧长和面积公式③三角函数的定义④判断三角函数值的符号★【文末附录-任意角和弧度制及三角函数的概念思维导图】一、三角函数基本概念1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是ZkkS，360．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．一、知识点梳理(2)角度制和弧度制的互化：rad180,rad1801,180rad1．(3)扇形的弧长公式：rl，扇形的面积公式：22121rlrS．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(yxP，时，则ysin，xcos，)0(tanxxy．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P)(yxP，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则rysin，rxcos，)0(tanxxy三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinR＋＋－－cosR＋－－＋tan}2|{Zkk，＋－＋－记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．题型一象限角和终边相同的角策略方法1．象限角的两种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角2．求θn或nθ(n∈N*)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示．(2)两边同除以n或乘以n．二、题型分类精讲(3)对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．【典例1】下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2π45ZkkB．9π360Z4kkC．360315ZkkD．5ππZ4kk【答案】C【分析】根据终边相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分别判断各选项，可得答案.【详解】对于A，B，2π45Zkk，9π360Z4kk中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为9ππ2π44与315是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为360315Zkk，C正确；对于D，5ππZ4kk，不妨取0k，则表示的角5π4与9π4终边不相同，D错误，故选：C【典例2】已知角第二象限角，且coscos22，则角2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【分析】由是第二象限角，知2在第一象限或在第三象限，再由coscos22，知cos02，由此能判断出2所在象限．【详解】因为角第二象限角，所以90360180360Zkkk，所以4518090180Z2kkk，当k是偶数时，设2Zknn，则4536090360Z2nnn，此时2为第一象限角；当k是奇数时，设21Zknn，则225360270360Z2nnn，此时2为第三象限角.；综上所述：2为第一象限角或第三象限角，因为coscos22，所以cos02，所以2为第三象限角．故选：C【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）下列各角中与437角的终边相同的是（）A．67B．77C．107D．137【答案】B【分析】写出与437角的终边相同的角为437360,Zkk，选出正确答案.【详解】与437角的终边相同的角为437360,Zkk，当1k时，43736077，B正确；经验证，其他三个选项均不合要求.故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）若角是第一象限角，则2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【答案】C【分析】根据题意得18018045,2kkkZ，分k为偶数和奇数求解即可.【详解】因为是第三象限角，所以36036090,kkkZ，所以18018045,2kkkZ，当k为偶数时，2是第一象限角，当k为奇数时，2是第三象限角.故选：C．3．（2023·全国·高三专题练习）若角的终边在直线yx上，则角的取值集合为（）A．2,4kkZB．32,4kkZC．3,4kkZD．,4kkZ【答案】D【分析】根据若,终边相同，则2,kkZ求解.【详解】解：，由图知，角的取值集合为:32,2,4421,2,44,4kkZkkZkkZkkZkkZ故选：D.【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.4．（2023·全国·高三专题练习）已知角θ在第二象限，且sinsin22，则角2在（）A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】由题可得角2在第一或第三象限，再结合三角函数值的符号即得.【详解】∵角θ是第二象限角，∴θ∈(2,2),Z2kkk，∴(,)242kk，Zk，∴角2在第一或第三象限，∵sinsin22，∴sin02，∴角2在第三象限.故选：C.二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度B．1801radC．若sin0，cos0，则为第二象限角D．若为第二象限角，则2为第一或第三象限角【答案】CD【分析】对于A，利用正负角的定义判断；对于B，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C，由sin0求出的范围，由cos0求出的范围，然后求交集即可；对于D，由是第二象限角，可得222kk，Zk，然后求2的范围可得答案【详解】对于A，经过30分钟，钟表的分针转过弧度，不是弧度，所以A错；对于B，1化成弧度是rad180，所以B错误；对于C，由sin0，可得为第一、第二及y轴正半轴上的角；由cos0，可得为第二、第三及x轴负半轴上的角.取交集可得是第二象限角，故C正确；对于D：若是第二象限角，所以222kk，则()422kkkZ，当2()knnZ=?时，则22()422nnnZ，所以2为第一象限的角，当21()knnZ时，5322()422nnnZ，所以2为第三象限的角，综上，2为第一或第三象限角，故选项D正确.故选：CD.6．（2023·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于y轴对称的是（）A．90B．180C．36090kkZD．21180kkZ【答案】BD【分析】根据和的终边关于y轴对称时180360kkZ，逐一判断正误即可.【详解】根据和的终边关于y轴对称时180360kkZ可知，选项B中，180符合题意；选项D中，21180kkZ符合题意；选项AC中，可取0,90时显然可见和的终边不关于y轴对称.故选：BD.题型二扇形弧长和面积公式策略方法有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【典例1】已知一扇形的圆心角为0，周长为C，面积为S，弧长为l,所在圆的半径为r．(1)若30，8r，求扇形的弧长；(2)若16C，16S，求扇形的半径和圆心角．【答案】(1)4π3(2)扇形半径为4，圆心角为360π【分析】（1）直接用扇形的弧长公式求解；（2）根据条件列方程组可得弧长和半径，进而可得圆心角.【详解】（1）由已知得π4π8301803l；（2）由已知得2161162CrlSlr，解得48rl1808180360π4ππlr，即扇形的半径为4，圆心角为360π.【题型训练】一、单选题1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知扇形半径为3，圆心角为120°，则此扇形围成的圆锥体积是（）A．223B．23C．2D．22【答案】A【分析】先求扇形的弧长，进而求出圆锥底面圆的半径与高，即可求出体积.【详解】因为扇形半径为3，圆心角为120°，所以弧长为：2323l.所以圆锥底面圆的半径为1，母线长为3，因此高为22.所以圆锥的体积为1222233.故选：A2．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（）A．384πB．392πC．398πD．404π【答案】A【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.【详解】设圆锥的半径为r，母线长为l，则8r，由题意知，π2π3rl，解得：48l，所以圆锥的侧面积为π848π=384πrl.故选：A.3．（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（）A．4B．22C．2D．1【答案】C【分析】设扇形的半径为0RR，圆心角为，根据扇形的面积公式将用R表示，再根据扇形的弧长和周长公式结合基本不等式即可得解.【详解】设扇形的半径为0RR，圆心角为，则2142R，所以28R，则扇形的周长为8822228RRRRRR，当且仅当82RR，即2R时，取等号，此时2，所以周长最小时半径的值为2.故选：C.4．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形AOB中，C是弦AB的中点，D在AB上，CDAB．其中OAOBr，AB长为llr．则CD的长度约为（提示：10,2x时，2cos12xx）（）A．28lrrB．28lrC．24lrrD．24lr【答案】B【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.【详解】设圆心角lr，lr，10,222lr，所以2222coscos112228llCOlrrrr，28lCOrr，所以2288llCDrrrr．故选：B.二、填空题5．（2023·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________．【答案】3π【分析】化角度为弧度，由弧长求得半径，再由扇