第13练 函数的应用和函数模型（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第13练函数的应用和函数模型（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）函数3log12fxx的零点为（）A．10B．9C．（10，0）D．（9，0）【答案】A【分析】令0fx，解对数方程，求出x＝10.【详解】令3log120fxx，即233log12log3x，所以213x，因此x＝10，所以函数3log12fxx的零点为10，故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）函数3lnyxx的零点所在区间是（）A．3,4B．2,3C．1,2D．0,1【答案】B【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由3,lnyyxx在(0,)上递减，所以3lnyxx在(0,)上递减，又33e(2)ln2ln022f，e(3)1ln3ln03f，所以零点所在区间为2,3.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本x万元.其中210,0401000071945,40xxxxxxx，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（）A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元【答案】C【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大值.【详解】该企业每年利润为2701025,04010000707194525,40xxxxfxxxxx当040x时，226025(30)875fxxxx在30x时，fx取得最大值875；当40x时，10000100009209202720fxxxxx（当且仅当100x时等号成立），即在100x时，fx取得最大值720；由875720，可得该企业每年利润的最大值为875.故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()24xfxx，()e4xgxx，()ln4hxxx的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（）A．abcB．cbaC．bacD．cab【答案】C【分析】将()fx，()gx，()hx的零点看成函数4yx分别与2xy，exy，lnyx的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.【详解】由已知条件得()fx的零点可以看成2xy与4yx的交点的横坐标，()gx的零点可以看成exy与4yx的交点的横坐标，()hx的零点可以看成lnyx与4yx的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出2xy，exy，lnyx，4yx的函数图象，如下图所示,可知cab，故选：C.5．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉25的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为60mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则PP棉滤芯层数最少为（）（参考数据：lg20.30，lg30.48）A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】根据指数与对数的运算直接求解.【详解】由题意得，经n层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为236016055nn，Nn，则36025n，得33015n，所以3lg30lg05n，即lg10lg3lg2lg3lg100n，所以10.480.7810n，解得7411n，Nn，所以n的最小值为7，故选：C.6．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）定义符号函数1,0sgn0,01,0xxxx，则方程2sgn56xxx的解是（）A．2或6B．3或6C．2或3D．2或3或6【答案】D【分析】根据符号函数的意义，分段解方程作答.【详解】依题意，当0x时，方程2sgn56xxx为：256xx，解得2x或3x，因此2x或3x，当0x时，方程2sgn56xxx为：056x，解得65x，于是无解，当0x时，方程2sgn56xxx为：256xx，解得6x或1x，因此6x，所以方程2sgn56xxx的解是2x或3x或6x.故选：D7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数ln,0()1,0xxfxxx，()()()gxfxfx，，则函数gx的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】先求0x时，函数()gx的零点，再根据()gx为偶函数，可得0x时，函数()gx还有一个零点=1x，由此可得答案.【详解】当0x时，(0)(0)(0)2(0)2gfff，所以0x不是函数gx的零点，因为()()()gxfxfx，所以()()()()gxfxfxgx，所以()gx为偶函数，当0x时，0x，()ln1gxxx，11()1xgxxx，令()0gx，得01x，令()0gx，得1x，所以()gx在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以()gx在1x时取得最大值(1)0g，所以当0x时，()gx有唯一零点1x，又函数()gx为偶函数，其图象关于y轴对称，所以()gx在0x时，还有一个零点=1x，综上所述：函数gx的零点个数为2.故选：A8．（2023·全国·高三专题练习）设x表示不超过x的最大整数，如11,0.50，已知函数(0)xfxkxx，若方程0fx有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）A．12,23B．23,34C．34,45D．45,56【答案】C【分析】由0fx可得xkx，则问题转化为yx与ykx在0,上恰有3个交点，数形结合即可得解.【详解】由0fx可得xkx，依题意yx与ykx在0,上恰有3个交点，如图所示，点5,4和点4,3为临界点，所以实数k的取值范围是34,45，故选：C二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122,01()1,1xxfxxx，若关于x的方程1()4fxxa恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（）A．0B．1C．54D．2【答案】BCD【分析】首先根据题意画出函数fx的图象，结合图象可知：当5944a时，直线14yxa与()yfx的图象有2个交点，当直线与曲线1yx相切在第一象限时，有2个交点，即可得到答案.【详解】函数fx的图象，如图所示：由题意知，直线14yxa与()yfx的图象有2个交点．当直线14yxa过点1,2时，94a，当直线14yxa过点1,1时，54a．结合图象如图可知，当5944a时，直线14yxa与()yfx的图象有2个交点，如图所示：又当直线14yxa与曲线1yx相切在第一象限时，直线14yxa与()yfx的图象也有2个交点，如图所示：114xax，化简可得2440xax，由2Δ(4)160a，得1a，又由图可知0a，所以1a，此时切点的横坐标为2符合.综上，实数a的取值范围是59,{1}44.故选：BCD．10．（2023·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数()fx满足()fx不恒为零，且(6)()fxfx，(3)(3)0fxfx，(2)0f，则下列结论正确的是（）A．(0)0fB．()fx是奇函数C．()fx的图像关于直线12x对称D．()fx在[0，10]上有6个零点【答案】AB【分析】通过给题中恒成立的等式赋值，求函数值，判断奇偶性、对称性和零点.【详解】选项A：对于(6)()fxfx，令0x，得(6)(0)ff，对于(3)(3)0fxfx，令3x，得(6)(0)ff，所以(0)(0)ff，则(0)0f，A正确；选项B：由(6)()fxfx得(6)()fxfx，由(3)(3)0fxfx得(6)()fxfx，所以()()fxfx，()fx是奇函数，B正确；选项C：由(6)()fxfx，得(12)(6)()fxfxfx，所以12是()fx的一个周期，又()fx是奇函数，所以()fx的图像关于点120，对称，因为()fx不恒为零，所以()fx的图像不关于直线12x对称，C错误；选项D：由A知(6)(0)0ff，对于(3)(3)0fxfx，令0x，得(3)0f，所以(9)(3)0ff，由(2)0f，得(8)(2)0ff，(2)(2)0ff，所以(4)(10)0ff，所以()fx在[010]，上的零点为0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．故选：AB．三、填空题11．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数21e,0e2,0xxxxfxxx，则函数fx的零点个数为___________.【答案】3【分析】当0x时直接求解函数零点，当0x时，转化为exy与22yx的图象的交点个数求解即可.【详解】解：当0x时，01exfxx，解得=1x；当0x时，20e2xfxx得2e2xx，易得22e80f，作出函数exy，22yx的图象，如图，所以，结合指数函数与幂函数性质，函数exy，22yx在0,有两个交点，所以当0x时，20e2xfxx有两个实数根，所以，函数fx的零点个数为3故答案为：312．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在R上的奇函数fx满足2fxfx，且当0,1x时，21xfx，则函数3210xgxfx的所有零点之和为______.【答案】18【分析】判断出fx的对称性、周期性，画出yfx与3210yx的图象，结合图象求得gx的所有零点之和.【详解】∵fx满足2fxfx，则fx关于直线1x对称，又∵fx是定义在R上的奇函数，则22fxfxfx，即2fxfx，则42fxfxfxfx，∴fx是以4为周期的周期函数，对22fxfxfx，可得220ffxx，则220fxfx，∴fx关于点2,0对称，令32100xgxfx，则3210xfx，可知：yfx与3210yx均关于点2,0对称，如图所示：设yfx与3210yx的交点横坐标依次为12345678,,,,2,,,,xxxxxxxx，则182736454xxxxxxxx，故函数3210xgxfx的所有零点之和为44218.故答案为：18.13．（2023春·江苏南京